Subgroups — #220456

Order 512.

1034 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	M₁₆×D₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9799	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9251	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8616	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#547	C₂²	1	2	yes	—
10	#3334	—	2	2	no	—
11	#3334	—	2	4	no	—
12	#3334	—	2	2	no	—
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#480	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#466	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	D₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#107	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#413	—	2	2	no	—
22	#1966	C₂²	1	4	yes	—
23	#1901	—	2	4	no	—
24	#1800	C₂²	1	2	yes	—
25	#1785	—	2	2	no	—
26	C₄×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1589	—	2	2	no	—
28	#1581	—	2	4	no	—
29	C₈×D₈	—	2	2	no	—
30	#1567	C₂²	1	2	yes	—
31	#1546	C₂²	1	4	yes	—
32	#1486	C₂²	1	4	yes	—
33	#1460	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
35	#1292	C₂²	1	2	yes	—
36	#1283	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	#547	—	2	4	no	—
42	#547	—	2	4	no	—
43	#547	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#123	—	2	4	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#500	—	2	2	no	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#480	—	2	8	no	—
54	#480	—	2	8	no	—
55	#474	—	2	4	no	—
56	#474	—	2	4	no	—
57	#466	—	2	4	no	—
58	#466	—	2	4	no	—
59	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
61	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#435	—	4	4	no	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	2	2	no	—
66	C₈×D₄	—	2	2	no	—
67	#431	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#107	—	2	4	no	—
69	C₂×#107	—	2	2	no	—
70	C₂×#107	—	2	2	no	—
71	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	#423	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#413	—	4	8	no	—
80	C₂×#101	—	2	4	no	—
81	C₂×#101	—	2	4	no	—
82	C₂×#100	—	2	2	no	—
83	C₂×#100	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#100	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#407	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#343	—	2	2	no	—
90	#343	D₄	1	2	yes	—
91	#335	—	2	2	no	—
92	#335	—	2	2	no	—
93	#332	—	4	4	no	—
94	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	#323	—	2	2	no	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	C₈²	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	4	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	4	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	—	8	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×D₈	—	4	2	no	—
112	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
118	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	#123	—	4	8	no	—
130	#123	—	4	8	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
133	#121	—	2	8	no	—
134	#121	—	4	4	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#107	—	2	2	no	—
153	#107	—	2	2	no	—
154	#107	—	2	4	no	—
155	#107	—	2	4	no	—
156	#107	—	2	4	no	—
157	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	#107	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	#107	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	#102	—	2	8	no	—
165	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	#101	—	4	8	no	—
168	#101	—	8	4	no	—
169	#100	—	2	2	no	—
170	#100	—	4	4	no	—
171	#100	D₈	1	4	yes	complemented
172	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
176	#97	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
183	#41	—	8	8	no	—
184	#41	—	8	8	no	—
185	#41	—	8	8	no	—
186	#41	—	8	8	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	8	4	no	—
199	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₂×D₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	#135	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	D₈	—	2	4	no	—
222	D₈	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	2	2	no	—
224	M₁₆	—	2	2	no	—
225	M₁₆	—	2	2	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	M₁₆	—	4	4	no	—
228	M₁₆	—	8	8	no	—
229	M₁₆	C₂×D₈	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	8	8	no	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	8	2	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	C₄×D₈	1	4	yes	—
269	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	Q₈	—	8	4	no	—
271	Q₈	—	8	4	no	—
272	D₄	—	2	4	no	—
273	D₄	—	2	4	no	—
274	D₄	—	2	4	no	—
275	D₄	—	2	4	no	—
276	D₄	—	8	2	no	—
277	D₄	—	8	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	8	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
306	C₈	—	2	1	no	—
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	2	4	no	—
309	C₈	—	4	2	no	—
310	C₈	—	4	2	no	—
311	C₈	—	8	2	no	—
312	C₈	—	8	4	no	—
313	C₈	#413	1	2	yes	complemented
314	C₂²	—	2	1	no	—
315	C₂²	—	2	1	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	16	2	no	—
325	C₂²	—	16	2	no	—
326	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	8	4	no	—
335	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2889	1	1	yes	characteristic
337	C₄	D₄×D₈	1	2	yes	—
338	C₄	#3280	1	2	yes	—
339	C₂	—	2	1	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	4	4	no	—
342	C₂	—	8	4	no	—
343	C₂	#22411	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂²⋊C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#22460	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3334	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22411	C₂	semidirect
3. M₁₆×D₈	C₂	semidirect
4. #9799	C₂	semidirect
5. #9251	C₂	semidirect
6. #8616	C₂	semidirect
7. #8387	C₂	semidirect
8. C₈×#100	C₂	semidirect
171. #100	D₈	semidirect
313. C₈	#413	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3334	2
#22411	2
M₁₆×D₈	2
#9799	2
#9251	2
#8616	2
#8387	2
C₈×#100	2