Subgroups — #220467

Order 512.

888 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	M₁₆×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9802	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9254	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#559	C₂²	1	2	yes	—
10	#3396	—	2	2	no	—
11	#3396	—	2	4	no	—
12	#3396	—	2	2	no	—
13	C₂×#495	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#460	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#463	C₄	1	4	yes	—
17	Q₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	—
21	#1967	—	2	4	no	—
22	#1965	C₂²	1	4	yes	—
23	#1801	C₂²	1	2	yes	—
24	#1800	—	2	2	no	—
25	C₄×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#100	—	2	2	no	—
27	#1591	—	2	2	no	—
28	#1584	—	2	4	no	—
29	C₈×Q₁₆	—	2	2	no	—
30	#1567	C₂²	1	2	yes	—
31	#1545	C₂²	1	4	yes	—
32	#1487	C₂²	1	4	yes	—
33	#1461	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
35	#1292	C₂²	1	2	yes	—
36	#1283	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	#559	—	2	4	no	—
42	#559	—	2	4	no	—
43	#559	—	4	4	no	—
44	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#124	—	2	2	no	—
46	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#123	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#495	—	2	4	no	—
53	#495	—	2	4	no	—
54	#493	—	2	2	no	—
55	#493	—	2	2	no	—
56	#463	—	2	8	no	—
57	#463	—	2	8	no	—
58	#460	—	2	4	no	—
59	#460	—	2	4	no	—
60	#446	—	2	4	no	—
61	#446	—	4	4	no	—
62	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
63	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
65	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
66	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
67	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
68	C₄×D₈	—	2	4	no	—
69	C₄×D₈	—	2	2	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	#431	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	#423	—	2	4	no	—
74	#423	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×#101	—	2	2	no	—
80	C₂×#101	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×#100	—	2	4	no	—
82	C₂×#100	—	2	4	no	—
83	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#343	—	2	2	no	—
88	#343	D₄	1	1	yes	characteristic
89	#343	D₄	1	1	yes	characteristic
90	#335	—	2	2	no	—
91	#335	—	2	2	no	—
92	#331	—	4	4	no	—
93	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
94	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
95	#324	—	2	2	no	—
96	#322	—	2	2	no	—
97	C₈²	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	—	4	4	no	—
113	C₂×D₈	—	8	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	#124	—	2	8	no	—
123	#124	—	4	4	no	—
124	#124	—	4	4	no	—
125	#124	—	4	4	no	—
126	#123	—	4	8	no	—
127	#123	—	4	8	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₄×D₄	—	2	4	no	—
134	C₄×D₄	—	2	4	no	—
135	C₄×D₄	—	4	4	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	#107	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	#107	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
158	#103	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	#103	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
160	#102	—	2	4	no	—
161	#102	—	2	4	no	—
162	#101	—	2	4	no	—
163	#101	—	8	2	no	—
164	#100	—	4	8	no	—
165	#100	—	8	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
167	#97	—	2	2	no	—
168	#97	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	4	4	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	16	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
200	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	Q₁₆	—	2	4	no	—
206	Q₁₆	—	4	2	no	—
207	SD₁₆	—	8	8	no	—
208	D₈	—	4	4	no	—
209	D₈	—	4	4	no	—
210	D₈	—	8	4	no	—
211	M₁₆	—	2	2	no	—
212	M₁₆	—	2	2	no	—
213	M₁₆	—	2	2	no	—
214	M₁₆	—	4	4	no	—
215	M₁₆	—	4	4	no	—
216	M₁₆	#135	1	4	yes	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	1	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	4	no	—
248	C₂³	—	8	4	no	—
249	C₂³	—	8	4	no	—
250	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	2	4	no	—
252	Q₈	—	2	4	no	—
253	Q₈	—	4	2	no	—
254	Q₈	—	4	2	no	—
255	Q₈	—	8	2	no	—
256	D₄	—	4	4	no	—
257	D₄	—	4	4	no	—
258	D₄	—	8	4	no	—
259	D₄	—	8	4	no	—
260	D₄	—	8	4	no	—
261	D₄	—	16	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	16	4	no	—
276	C₂×C₄	—	16	4	no	—
277	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
284	C₈	—	2	1	no	—
285	C₈	—	2	2	no	—
286	C₈	—	2	4	no	—
287	C₈	—	4	2	no	—
288	C₈	—	4	2	no	—
289	C₈	—	8	2	no	—
290	C₈	—	8	4	no	—
291	C₈	#413	1	2	yes	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	8	4	no	—
295	C₂²	—	8	4	no	—
296	C₂²	—	8	4	no	—
297	C₂²	—	16	4	no	—
298	C₂²	—	16	4	no	—
299	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
302	C₄	—	2	1	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	4	4	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
310	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#3285	1	2	yes	—
312	C₄	#3287	1	2	yes	—
313	C₂	—	2	1	no	—
314	C₂	—	2	1	no	—
315	C₂	—	16	4	no	—
316	C₂	#22412	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#22451	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#22458	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22539	C₂	semidirect
3. M₁₆×Q₁₆	C₂	semidirect
5. #9254	C₂	semidirect
6. #8617	C₂	semidirect
7. #8386	C₂	semidirect
8. C₈×#101	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3396	2
#22539	2
M₁₆×Q₁₆	2
#9802	2
#9254	2
#8617	2
#8386	2
C₈×#101	2