Subgroups — #22061

Order 256.

457 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 301 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1938	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#452	C₄	1	2	yes	complemented
19	#451	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#450	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#449	C₄	1	2	yes	complemented
22	#448	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#447	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#435	—	2	1	no	—
25	#435	—	2	1	no	—
26	C₈×D₄	—	2	1	no	—
27	C₈×D₄	—	2	1	no	—
28	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#416	C₂²	1	2	yes	—
34	#408	—	2	1	no	—
35	#408	—	2	1	no	—
36	#408	C₂²	1	2	yes	—
37	#408	C₂²	1	2	yes	—
38	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#341	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₂×#41	—	2	1	no	—
50	C₂×#41	—	2	1	no	—
51	C₂×#41	—	4	2	no	—
52	C₂×#41	—	4	2	no	—
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#135	—	4	2	no	—
62	#135	—	4	2	no	—
63	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#131	—	4	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
70	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
71	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
77	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#123	—	2	1	no	—
85	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#120	—	2	1	no	—
90	C₄×D₄	—	2	1	no	—
91	C₄×D₄	—	2	1	no	—
92	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	#108	—	4	2	no	—
96	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
98	#104	—	4	2	no	—
99	#104	—	4	2	no	—
100	#104	—	4	2	no	—
101	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	#97	—	2	1	no	—
117	#97	—	4	2	no	—
118	C₄×C₈	—	2	1	no	—
119	#95	—	2	1	no	—
120	C₂⁴	—	2	1	no	—
121	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
122	#41	—	2	2	no	—
123	#41	—	2	2	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	—	2	2	no	—
126	#41	—	2	2	no	—
127	#41	—	2	2	no	—
128	#41	—	4	2	no	—
129	#41	—	4	2	no	—
130	#41	—	4	4	no	—
131	#41	—	4	2	no	—
132	#41	—	4	2	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
135	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	1	no	—
141	C₂×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂×D₄	—	4	2	no	—
144	C₂×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	Q₁₆	—	4	2	no	—
163	SD₁₆	—	4	2	no	—
164	SD₁₆	—	4	2	no	—
165	D₈	—	4	2	no	—
166	M₁₆	—	2	2	no	—
167	M₁₆	—	2	2	no	—
168	M₁₆	—	2	2	no	—
169	M₁₆	—	2	2	no	—
170	M₁₆	—	4	2	no	—
171	M₁₆	—	4	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	4	1	no	—
180	C₂×C₈	—	4	1	no	—
181	C₂×C₈	—	4	1	no	—
182	C₂×C₈	—	4	1	no	—
183	C₂×C₈	—	4	2	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄²	—	2	1	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	1	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	4	1	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	Q₈	—	2	2	no	—
216	Q₈	—	2	2	no	—
217	Q₈	—	2	2	no	—
218	Q₈	—	4	2	no	—
219	D₄	—	2	2	no	—
220	D₄	—	2	2	no	—
221	D₄	—	2	2	no	—
222	D₄	—	4	2	no	—
223	D₄	—	4	2	no	—
224	D₄	—	4	4	no	—
225	D₄	—	4	2	no	—
226	D₄	—	4	2	no	—
227	D₄	—	4	2	no	—
228	D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
255	C₈	—	2	2	no	—
256	C₈	—	2	2	no	—
257	C₈	—	2	1	no	—
258	C₈	—	2	1	no	—
259	C₈	—	2	1	no	—
260	C₈	—	2	1	no	—
261	C₈	—	4	1	no	—
262	C₈	—	4	2	no	—
263	C₈	—	4	1	no	—
264	C₂²	—	2	1	no	—
265	C₂²	—	2	1	no	—
266	C₂²	—	2	1	no	—
267	C₂²	—	2	1	no	—
268	C₂²	—	2	1	no	—
269	C₂²	—	2	1	no	—
270	C₂²	—	2	1	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	1	no	—
274	C₂²	—	4	1	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	1	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	8	4	no	—
279	C₂²	#444	1	2	yes	—
280	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#538	1	2	yes	—
282	C₄	—	2	1	no	—
283	C₄	—	2	1	no	—
284	C₄	—	4	2	no	—
285	C₄	—	4	1	no	—
286	C₄	—	4	1	no	—
287	C₄	—	4	1	no	—
288	C₄	—	8	2	no	—
289	C₄	#518	1	2	yes	—
290	C₄	#534	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
292	C₂	—	2	2	no	—
293	C₂	—	2	2	no	—
294	C₂	—	4	1	no	—
295	C₂	—	8	1	no	—
296	C₂	—	8	2	no	—
297	C₂	#2321	1	1	yes	characteristic
298	C₂	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3002	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2929	C₂	semidirect
3. C₂×#408	C₂	semidirect
4. #1975	C₂	semidirect
5. #1938	C₂	semidirect
6. #1929	C₂	semidirect
7. #1876	C₂	semidirect
8. #1871	C₂	semidirect
9. #1855	C₂	semidirect
10. #1789	C₂	semidirect
11. #1752	C₂	semidirect
14. C₂×#131	C₂²	semidirect
18. #452	C₄	semidirect
19. #451	C₄	semidirect
20. #450	C₄	semidirect
21. #449	C₄	semidirect
22. #448	C₄	semidirect
23. #447	C₄	semidirect
28. C₂×#108	C₂²	semidirect
29. #424	C₂²	semidirect
32. C₂×#104	C₂²	semidirect
38. #408	C₂²	semidirect
43. #405	C₂²	semidirect
44. C₂×#97	C₂²	semidirect
46. #341	C₂²	semidirect
47. #339	C₂²	semidirect
48. #336	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3002	2
#2929	2
C₂×#408	2
#1975	2
#1938	2
#1929	2
#1876	2
#1871	2
#1855	2
#1789	2
#1752	2