Subgroups — #22063

Order 256.

475 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 238 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1869	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#123	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₈×D₄	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#388	C₄	1	2	yes	—
31	#387	C₄	1	2	yes	—
32	#386	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#385	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#381	C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#336	C₂²	1	2	yes	—
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
52	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
53	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#123	C₈	1	8	yes	complemented
61	C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
82	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
86	C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₄×C₈	—	4	2	no	—
88	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂×C₈	—	4	4	no	—
133	C₂×C₈	—	4	4	no	—
134	C₂×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
140	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
145	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
146	C₄²	—	2	4	no	—
147	C₄²	—	2	1	no	—
148	C₄²	—	2	2	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	—	2	1	no	—
151	C₄²	—	2	2	no	—
152	C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂³	—	2	2	no	—
154	C₂³	—	2	2	no	—
155	C₂³	—	2	1	no	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	1	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
160	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
161	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
162	C₂³	#131	1	2	yes	—
163	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
164	D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄	—	4	1	no	—
188	C₂×C₄	—	4	1	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
198	C₈	—	2	2	no	—
199	C₈	—	2	2	no	—
200	C₈	—	4	1	no	—
201	C₈	—	4	2	no	—
202	C₈	—	4	1	no	—
203	C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²	—	2	2	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	4	no	—
207	C₂²	—	2	4	no	—
208	C₂²	—	2	2	no	—
209	C₂²	—	2	4	no	—
210	C₂²	—	4	1	no	—
211	C₂²	—	4	1	no	—
212	C₂²	—	4	2	no	—
213	C₂²	C₈×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	#520	1	2	yes	—
216	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	#568	1	2	yes	—
219	C₄	—	2	2	no	—
220	C₄	—	2	4	no	—
221	C₄	—	2	2	no	—
222	C₄	—	2	4	no	—
223	C₄	—	4	1	no	—
224	C₄	—	4	1	no	—
225	C₄	—	4	2	no	—
226	C₄	—	4	2	no	—
227	C₄	#534	1	1	yes	characteristic
228	C₄	#536	1	1	yes	characteristic
229	C₄	#539	1	2	yes	—
230	C₂	—	2	4	no	—
231	C₂	—	4	2	no	—
232	C₂	#2322	1	1	yes	characteristic
233	C₂	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#2930	1	1	yes	characteristic
235	C₂	#2988	1	2	yes	—
236	C₂	#2992	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
4. #1939	C₂	semidirect
5. #1923	C₂	semidirect
6. #1916	C₂	semidirect
8. #1850	C₂	semidirect
9. #1850	C₂	semidirect
10. #1817	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
60. #123	C₈	semidirect
108. C₂²×C₄	C₂×C₈	semidirect
139. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
144. C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
145. C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₄	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₄×#123	2
#1939	2
#1923	2
#1916	2
#1869	2
#1850	2
#1817	2
C₈×C₂²⋊C₄	2