Subgroups — #220652

Order 512.

997 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61091	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#18063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17773	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9354	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8636	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8243	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#578	C₄	1	2	yes	—
10	#3499	C₂²	1	2	yes	—
11	D₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
12	#3283	—	2	2	no	—
13	#3276	—	2	4	no	—
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3059	C₄	1	2	yes	—
16	#3039	C₂²	1	2	yes	—
17	#3011	C₄	1	4	yes	—
18	#2991	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1997	C₂²	1	4	yes	—
22	#1594	—	2	2	no	—
23	#1583	—	2	4	no	—
24	#1579	—	2	2	no	—
25	#1566	C₂²	1	2	yes	—
26	#1560	—	2	2	no	—
27	#1560	C₂²	1	2	yes	—
28	#1548	—	2	4	no	—
29	#1548	C₂²	1	4	yes	—
30	#1543	—	2	2	no	—
31	#1543	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1525	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1489	C₂²	1	4	yes	—
34	#1451	C₂²	1	2	yes	—
35	#1309	C₂²	1	2	yes	—
36	#1299	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	#578	—	4	8	no	—
39	C₂×#137	—	2	4	no	—
40	C₂×#137	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#135	—	2	2	no	—
42	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	#547	—	2	4	no	—
49	#547	—	4	4	no	—
50	#536	—	2	4	no	—
51	#536	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	#494	—	2	2	no	—
58	#494	—	2	2	no	—
59	#470	—	2	4	no	—
60	#467	—	2	4	no	—
61	#462	—	2	4	no	—
62	#461	—	2	4	no	—
63	#452	—	2	8	no	—
64	#451	—	2	8	no	—
65	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
67	C₄×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
69	#436	—	2	4	no	—
70	#436	—	2	2	no	—
71	#436	—	4	4	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	#431	—	2	4	no	—
74	#431	C₂³	1	2	yes	—
75	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#423	—	2	4	no	—
77	#423	C₂³	1	4	yes	—
78	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#419	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#343	—	4	4	no	—
85	#334	—	2	2	no	—
86	#334	—	2	2	no	—
87	#333	—	2	2	no	—
88	#333	—	2	4	no	—
89	#333	—	2	4	no	—
90	#333	D₄	1	2	yes	—
91	#331	—	2	2	no	—
92	#331	D₄	1	2	yes	—
93	#329	—	2	2	no	—
94	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
95	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	#322	—	2	2	no	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	8	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	4	no	—
103	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	#137	—	4	16	no	—
109	#137	—	4	8	no	—
110	#135	—	2	4	no	—
111	#135	—	4	8	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	4	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	#127	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	#124	—	2	4	no	—
140	#124	#41	1	2	yes	—
141	#123	—	4	8	no	—
142	#123	—	4	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
145	#121	—	2	2	no	—
146	#121	—	4	4	no	—
147	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	#106	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
164	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	#103	—	2	8	no	—
166	#103	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
171	#97	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	4	4	no	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	#41	—	2	4	no	—
178	#41	—	4	2	no	—
179	#41	—	4	2	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	#41	—	4	8	no	—
182	#41	—	8	4	no	—
183	#41	—	8	8	no	—
184	#41	—	8	16	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
209	Q₁₆	—	4	4	no	—
210	Q₁₆	—	4	8	no	—
211	Q₁₆	—	4	4	no	—
212	Q₁₆	—	8	4	no	—
213	Q₁₆	#100	1	4	yes	—
214	SD₁₆	—	2	4	no	—
215	SD₁₆	—	4	8	no	—
216	D₈	—	2	2	no	—
217	M₁₆	—	4	4	no	—
218	M₁₆	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	4	no	—
220	M₁₆	—	8	4	no	—
221	M₁₆	—	16	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	1	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
250	Q₈	—	2	2	no	—
251	Q₈	—	4	2	no	—
252	Q₈	—	4	4	no	—
253	Q₈	—	4	4	no	—
254	Q₈	—	8	8	no	—
255	Q₈	—	8	4	no	—
256	Q₈	C₂×#100	1	4	yes	—
257	D₄	—	2	2	no	—
258	D₄	—	2	2	no	—
259	D₄	—	4	4	no	—
260	D₄	—	4	2	no	—
261	D₄	—	4	4	no	—
262	D₄	—	4	4	no	—
263	D₄	—	8	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	8	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
283	C₈	—	2	1	no	—
284	C₈	—	2	2	no	—
285	C₈	—	4	2	no	—
286	C₈	—	4	4	no	—
287	C₈	—	8	2	no	—
288	C₈	—	8	4	no	—
289	C₈	C₂×#100	1	2	yes	—
290	C₂²	—	2	1	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄	—	2	1	no	—
298	C₄	—	2	4	no	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	4	2	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	8	4	no	—
303	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#3289	1	4	yes	—
306	C₂	—	4	1	no	—
307	C₂	—	8	2	no	—
308	C₂	—	8	2	no	—
309	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#22465	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#61091	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #18063	C₂	semidirect
3. #17773	C₂	semidirect
4. #9807	C₂	semidirect
5. #9354	C₂	semidirect
6. #8636	C₂	semidirect
7. #8471	C₂	semidirect
8. #8243	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61091	2
#18063	2
#17773	2
#9807	2
#9354	2
#8636	2
#8471	2
#8243	2