Subgroups — #220704

Order 512.

1087 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61089	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#18055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17770	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9802	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9359	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8469	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#576	C₄	1	2	yes	—
10	#3498	C₂²	1	2	yes	—
11	#3287	—	2	2	no	—
12	D₄×D₈	—	2	2	no	—
13	#3274	—	2	4	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3058	C₄	1	2	yes	—
16	#3038	C₂²	1	2	yes	—
17	#3008	C₄	1	4	yes	—
18	#2990	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1965	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#1591	—	2	2	no	—
23	#1585	—	2	4	no	—
24	C₈×D₈	—	2	2	no	—
25	#1567	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1560	C₂²	1	2	yes	—
27	#1555	—	2	2	no	—
28	#1551	—	2	4	no	—
29	#1545	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1543	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#331	—	2	2	no	—
32	#1525	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1489	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1309	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1299	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	#576	—	4	8	no	—
39	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
40	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#135	—	2	2	no	—
42	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#550	—	2	4	no	—
48	D₄²	—	2	4	no	—
49	D₄²	—	4	4	no	—
50	#535	—	2	4	no	—
51	#535	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
56	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	#493	—	2	2	no	—
58	#493	—	2	2	no	—
59	#469	—	2	4	no	—
60	#466	—	2	4	no	—
61	#460	—	2	4	no	—
62	#459	—	2	4	no	—
63	#449	—	2	8	no	—
64	#447	—	2	8	no	—
65	#446	—	2	4	no	—
66	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
67	C₄×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#435	—	4	4	no	—
71	C₈×D₄	—	2	4	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	#432	—	2	4	no	—
74	#431	C₂³	1	2	yes	—
75	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#423	C₂³	1	4	yes	—
77	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	#418	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#100	—	4	4	no	—
82	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#335	—	2	2	no	—
86	#335	—	2	2	no	—
87	#333	—	2	2	no	—
88	#333	D₄	1	2	yes	—
89	#331	—	2	2	no	—
90	#331	—	2	4	no	—
91	#331	—	2	4	no	—
92	#331	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#331	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#329	—	2	2	no	—
95	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
96	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	C₈²	—	2	2	no	—
99	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
100	H(5,𝔽₂)	—	8	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
112	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
113	#135	—	2	4	no	—
114	#135	—	4	8	no	—
115	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×D₈	—	2	4	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	4	no	—
122	C₂×D₈	—	4	4	no	—
123	C₂×D₈	—	4	8	no	—
124	C₂×D₈	—	8	2	no	—
125	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	#131	—	4	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#127	—	2	4	no	—
137	#127	—	2	2	no	—
138	#127	—	2	4	no	—
139	#127	—	2	2	no	—
140	#127	—	4	4	no	—
141	#127	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	#124	—	2	4	no	—
143	#124	#41	1	2	yes	—
144	#121	—	2	2	no	—
145	#121	—	2	8	no	—
146	#121	—	4	8	no	—
147	#121	—	4	4	no	—
148	#120	—	4	8	no	—
149	#120	—	4	4	no	—
150	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	4	4	no	—
154	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	#106	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	#103	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	#102	—	2	8	no	—
169	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	#100	—	8	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
174	#97	—	2	2	no	—
175	#97	—	4	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	#41	—	2	4	no	—
183	#41	—	4	2	no	—
184	#41	—	4	2	no	—
185	#41	—	4	2	no	—
186	#41	—	4	8	no	—
187	#41	—	8	4	no	—
188	#41	—	8	8	no	—
189	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	8	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	8	no	—
208	C₂×D₄	—	8	16	no	—
209	C₂×D₄	—	16	4	no	—
210	C₂×D₄	—	16	4	no	—
211	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
219	Q₁₆	—	2	2	no	—
220	SD₁₆	—	2	4	no	—
221	SD₁₆	—	4	8	no	—
222	D₈	—	4	4	no	—
223	D₈	—	4	8	no	—
224	D₈	—	4	4	no	—
225	D₈	—	8	4	no	—
226	D₈	#100	1	4	yes	complemented
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	M₁₆	—	4	2	no	—
231	M₁₆	—	8	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	16	4	no	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	8	8	no	—
260	C₂³	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	8	8	no	—
262	C₂³	—	16	8	no	—
263	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	2	2	no	—
265	Q₈	—	2	2	no	—
266	Q₈	—	4	2	no	—
267	D₄	—	2	2	no	—
268	D₄	—	4	2	no	—
269	D₄	—	4	4	no	—
270	D₄	—	4	4	no	—
271	D₄	—	4	4	no	—
272	D₄	—	4	4	no	—
273	D₄	—	4	2	no	—
274	D₄	—	4	2	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	D₄	—	8	8	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	D₄	—	8	4	no	—
279	D₄	—	8	4	no	—
280	D₄	—	16	4	no	—
281	D₄	—	16	8	no	—
282	D₄	C₂×#100	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	8	no	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
300	C₈	—	2	1	no	—
301	C₈	—	2	2	no	—
302	C₈	—	4	4	no	—
303	C₈	—	4	2	no	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	8	4	no	—
307	C₈	C₂×#100	1	2	yes	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	—	32	8	no	—
317	C₂²	—	32	4	no	—
318	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	4	2	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#3290	1	2	yes	—
327	C₄	#3292	1	2	yes	—
328	C₂	—	4	1	no	—
329	C₂	—	4	4	no	—
330	C₂	—	8	2	no	—
331	C₂	—	16	4	no	—
332	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#22466	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#61089	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #18055	C₂	semidirect
3. #17770	C₂	semidirect
4. #9802	C₂	semidirect
5. #9359	C₂	semidirect
6. #8638	C₂	semidirect
7. #8469	C₂	semidirect
8. #8241	C₂	semidirect
18. #2990	C₂²	semidirect
21. #1965	C₂²	semidirect
25. #1567	C₂²	semidirect
29. #1545	C₂²	semidirect
33. #1489	C₂²	semidirect
34. C₈×M₁₆	C₂²	semidirect
35. #1309	C₂²	semidirect
36. #1299	C₂²	semidirect
226. D₈	#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61089	2
#18055	2
#17770	2
#9802	2
#9359	2
#8638	2
#8469	2
#8241	2