Subgroups — #220706

Order 512.

1003 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#61091	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#18055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17779	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9798	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9353	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#578	C₄	1	2	yes	—
10	#3499	C₂²	1	2	yes	—
11	D₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
12	#3283	—	2	2	no	—
13	#3276	—	2	4	no	—
14	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3059	C₄	1	2	yes	—
16	#3039	C₂²	1	2	yes	—
17	#3011	C₄	1	4	yes	—
18	#2990	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1997	C₂²	1	4	yes	—
22	#1591	—	2	2	no	—
23	#1585	—	2	4	no	—
24	C₈×D₈	—	2	2	no	—
25	#1567	C₂²	1	2	yes	—
26	#1560	C₂²	1	2	yes	—
27	#1558	—	2	2	no	—
28	#1551	—	2	4	no	—
29	#1548	C₂²	1	4	yes	—
30	#1543	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#333	—	2	2	no	—
32	#1525	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1489	C₂²	1	4	yes	—
34	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
35	#1309	C₂²	1	2	yes	—
36	#1299	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	#578	—	4	8	no	—
39	C₂×#137	—	2	4	no	—
40	C₂×#137	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#135	—	2	2	no	—
42	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	#547	—	2	4	no	—
49	#547	—	4	4	no	—
50	#536	—	2	4	no	—
51	#536	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	#494	—	2	2	no	—
58	#494	—	2	2	no	—
59	#470	—	2	4	no	—
60	#467	—	2	4	no	—
61	#462	—	2	4	no	—
62	#461	—	2	4	no	—
63	#452	—	2	8	no	—
64	#451	—	2	8	no	—
65	#446	—	2	4	no	—
66	C₄×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
67	C₄×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#435	—	4	4	no	—
71	C₈×D₄	—	2	4	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	#432	—	2	4	no	—
74	#431	C₂³	1	2	yes	—
75	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#423	C₂³	1	4	yes	—
77	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	#419	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#343	—	4	4	no	—
85	#335	—	2	2	no	—
86	#335	—	2	2	no	—
87	#333	—	2	2	no	—
88	#333	—	2	4	no	—
89	#333	—	2	4	no	—
90	#333	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#333	D₄	1	1	yes	characteristic
92	#331	—	2	2	no	—
93	#331	D₄	1	2	yes	—
94	#329	—	2	2	no	—
95	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
96	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	C₈²	—	2	2	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
100	2₋¹⁺⁴	—	8	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	#137	—	4	16	no	—
110	#137	—	4	8	no	—
111	#135	—	2	4	no	—
112	#135	—	4	8	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	8	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	#131	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
138	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	#127	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	#124	—	2	4	no	—
141	#124	#41	1	2	yes	—
142	#123	—	4	8	no	—
143	#123	—	4	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
146	#121	—	2	2	no	—
147	#121	—	4	4	no	—
148	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	4	4	no	—
152	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	#106	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	#103	—	2	8	no	—
168	#103	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
173	#97	—	2	2	no	—
174	#97	—	4	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	4	2	no	—
181	#41	—	4	2	no	—
182	#41	—	4	2	no	—
183	#41	—	4	8	no	—
184	#41	—	8	4	no	—
185	#41	—	8	8	no	—
186	#41	—	8	16	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
195	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
211	Q₁₆	—	2	2	no	—
212	Q₁₆	—	4	4	no	—
213	Q₁₆	—	4	8	no	—
214	Q₁₆	—	4	4	no	—
215	Q₁₆	—	8	4	no	—
216	SD₁₆	—	2	4	no	—
217	SD₁₆	—	4	8	no	—
218	D₈	#100	1	4	yes	—
219	M₁₆	—	2	4	no	—
220	M₁₆	—	4	4	no	—
221	M₁₆	—	4	2	no	—
222	M₁₆	—	4	2	no	—
223	M₁₆	—	8	4	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	16	4	no	—
233	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	2	2	no	—
255	Q₈	—	2	2	no	—
256	Q₈	—	4	2	no	—
257	Q₈	—	4	4	no	—
258	Q₈	—	4	4	no	—
259	Q₈	—	8	4	no	—
260	Q₈	—	8	8	no	—
261	D₄	—	2	2	no	—
262	D₄	—	4	2	no	—
263	D₄	—	4	4	no	—
264	D₄	—	4	4	no	—
265	D₄	—	4	2	no	—
266	D₄	—	4	2	no	—
267	D₄	—	8	8	no	—
268	D₄	C₂×#100	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
289	C₈	—	2	1	no	—
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	4	4	no	—
292	C₈	—	4	2	no	—
293	C₈	—	4	2	no	—
294	C₈	—	4	2	no	—
295	C₈	—	8	4	no	—
296	C₈	C₂×#100	1	2	yes	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	4	4	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	4	no	—
303	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	1	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	4	no	—
309	C₄	—	8	4	no	—
310	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
311	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#3290	1	2	yes	—
313	C₄	#3293	1	2	yes	—
314	C₂	—	4	1	no	—
315	C₂	—	4	4	no	—
316	C₂	—	8	2	no	—
317	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#22468	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#61091	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #18055	C₂	semidirect
3. #17779	C₂	semidirect
4. #9798	C₂	semidirect
5. #9353	C₂	semidirect
6. #8638	C₂	semidirect
7. #8471	C₂	semidirect
8. #8241	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#61091	2
#18055	2
#17779	2
#9798	2
#9353	2
#8638	2
#8471	2
#8241	2