Subgroups — #220756

Order 512.

1091 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9740	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9219	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#547	C₂²	1	2	yes	—
13	#3334	—	2	4	no	—
14	#3334	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#480	—	2	2	no	—
17	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#466	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#107	—	2	1	no	—
23	C₂×#416	—	2	2	no	—
24	#2354	C₂²	1	2	yes	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1981	C₂²	1	2	yes	—
27	#1972	—	2	1	no	—
28	#1956	C₂²	1	2	yes	—
29	#1926	—	2	2	no	—
30	#1892	—	2	2	no	—
31	#1873	—	2	2	no	—
32	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1802	C₂²	1	2	yes	—
34	#1802	C₂²	1	2	yes	—
35	#1788	—	2	2	no	—
36	#1776	—	2	1	no	—
37	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1580	—	2	4	no	—
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	#547	—	2	4	no	—
53	#547	—	2	4	no	—
54	#547	—	4	2	no	—
55	#547	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#123	—	4	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	#500	—	2	2	no	—
65	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#480	—	2	16	no	—
67	#474	—	2	4	no	—
68	#474	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#466	—	2	8	no	—
70	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
72	C₈×D₄	—	2	4	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	C₈×D₄	—	4	2	no	—
75	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	—	2	2	no	—
79	C₂×#107	—	2	8	no	—
80	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#106	—	2	1	no	—
82	C₂×#106	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#416	—	4	8	no	—
87	C₂×#103	—	2	2	no	—
88	C₂×#103	—	2	2	no	—
89	C₂×#103	—	2	2	no	—
90	C₂×#103	—	2	2	no	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂×#97	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#390	—	2	2	no	—
103	#388	—	4	2	no	—
104	#384	C₂³	1	2	yes	—
105	#380	—	2	2	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#340	—	2	2	no	—
109	#340	—	2	2	no	—
110	#340	—	4	2	no	—
111	#340	D₄	1	2	yes	—
112	#336	—	2	1	no	—
113	#334	—	2	2	no	—
114	#332	—	4	2	no	—
115	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
116	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	#322	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	8	no	—
119	C₂×#41	—	4	4	no	—
120	C₂×#41	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂×#41	—	8	2	no	—
123	C₂×#41	—	8	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	#123	—	4	8	no	—
152	#123	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
155	#121	—	2	8	no	—
156	#121	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	1	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄×D₄	#41	1	2	yes	—
165	#117	—	4	4	no	—
166	#117	—	8	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	#107	—	2	4	no	—
187	#107	—	2	4	no	—
188	#107	—	2	8	no	—
189	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	#106	—	4	2	no	—
191	#106	—	8	1	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
198	#103	—	4	4	no	—
199	#103	—	4	4	no	—
200	#103	—	8	2	no	—
201	#103	—	8	2	no	—
202	#102	—	2	8	no	—
203	#102	—	2	4	no	—
204	#102	—	4	4	no	—
205	#102	—	8	2	no	—
206	#102	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
209	#97	—	4	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	#95	—	2	1	no	—
217	#95	—	4	2	no	—
218	C₂⁴	—	2	1	no	—
219	C₂⁴	—	2	2	no	—
220	#41	—	4	16	no	—
221	#41	—	8	8	no	—
222	#41	—	8	8	no	—
223	#41	—	8	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	8	4	no	—
239	C₂×D₄	—	8	4	no	—
240	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	D₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	1	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	1	no	—
284	C₂×C₈	—	8	8	no	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
303	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
304	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	—	8	4	no	—
315	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
318	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	4	no	—
321	C₂³	—	2	4	no	—
322	C₂³	—	4	1	no	—
323	C₂³	—	4	1	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	4	4	no	—
333	Q₈	—	4	4	no	—
334	Q₈	—	8	2	no	—
335	Q₈	—	8	2	no	—
336	D₄	—	2	4	no	—
337	D₄	—	2	4	no	—
338	D₄	—	2	2	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	8	16	no	—
343	D₄	#442	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	16	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	4	2	no	—
384	C₈	—	8	1	no	—
385	C₈	—	8	2	no	—
386	C₈	—	8	1	no	—
387	C₈	#416	1	4	yes	complemented
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	4	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	—	8	2	no	—
400	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#3264	1	2	yes	—
402	C₂²	#3283	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#3284	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#3289	1	2	yes	—
405	C₄	—	2	1	no	—
406	C₄	—	2	1	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	4	no	—
409	C₄	—	8	2	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	—	16	2	no	—
412	C₄	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#2898	1	1	yes	characteristic
414	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#3264	1	2	yes	—
417	C₄	#3302	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3303	1	1	yes	characteristic
419	C₂	—	4	4	no	—
420	C₂	—	8	4	no	—
421	C₂	#19851	1	2	yes	—
422	C₂	#19859	1	2	yes	—
423	C₂	#22417	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#22436	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#22465	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3334	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22813	C₂	semidirect
3. #22417	C₂	semidirect
4. C₂×#1580	C₂	semidirect
5. #9836	C₂	semidirect
6. #9740	C₂	semidirect
7. #9219	C₂	semidirect
8. #8984	C₂	semidirect
9. #8642	C₂	semidirect
10. #8446	C₂	semidirect
11. #8202	C₂	semidirect
14. #3334	C₄	semidirect
387. C₈	#416	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3334	2
#22813	2
#22417	2
C₂×#1580	2
#9836	2
#9740	2
#9219	2
#8984	2
#8642	2
#8446	2
#8202	2