Subgroups — #220900

Order 512.

1119 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 433 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9740	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9227	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8981	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#547	C₂²	1	2	yes	—
13	#3334	—	2	4	no	—
14	#3334	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#480	—	2	2	no	—
17	C₂×#474	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#466	—	2	1	no	—
19	C₂×#442	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#107	—	2	1	no	—
24	C₂×#417	—	2	2	no	—
25	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	#1990	C₂²	1	2	yes	—
27	#1981	C₂²	1	2	yes	—
28	#1956	C₂²	1	2	yes	—
29	#1943	—	2	1	no	—
30	#1894	—	2	2	no	—
31	#1872	—	2	2	no	—
32	#1864	—	2	2	no	—
33	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1802	C₂²	1	2	yes	—
35	#1802	C₂²	1	2	yes	—
36	#1788	—	2	2	no	—
37	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1594	—	2	4	no	—
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
52	#547	—	2	4	no	—
53	#547	—	2	4	no	—
54	#547	—	4	2	no	—
55	#547	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#123	—	4	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×#121	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	#500	—	2	2	no	—
66	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	#480	—	2	16	no	—
68	#474	—	2	4	no	—
69	#474	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	#466	—	2	8	no	—
71	#442	—	4	4	no	—
72	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
74	#436	—	2	4	no	—
75	#436	—	4	2	no	—
76	C₈×D₄	—	2	2	no	—
77	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
78	C₂×#107	—	2	1	no	—
79	C₂×#107	—	2	1	no	—
80	C₂×#107	—	2	2	no	—
81	C₂×#107	—	2	8	no	—
82	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#106	—	2	1	no	—
84	C₂×#106	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#417	—	4	8	no	—
89	C₂×#103	—	2	2	no	—
90	C₂×#103	—	2	2	no	—
91	C₂×#103	—	2	2	no	—
92	C₂×#103	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	2	no	—
95	C₂×#102	—	2	2	no	—
96	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×#97	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#389	—	2	2	no	—
105	#385	—	4	2	no	—
106	#384	C₂³	1	2	yes	—
107	#380	—	2	2	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	#340	—	2	2	no	—
110	#340	—	2	2	no	—
111	#340	—	4	2	no	—
112	#340	D₄	1	2	yes	—
113	#336	—	2	1	no	—
114	#334	—	2	2	no	—
115	#332	—	4	2	no	—
116	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
117	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
118	#322	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	8	no	—
120	C₂×#41	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂×#41	—	4	4	no	—
123	C₂×#41	—	8	2	no	—
124	C₂×#41	—	8	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	#123	—	4	8	no	—
154	#123	—	4	8	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
157	#121	—	2	8	no	—
158	#121	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	4	no	—
164	C₄×D₄	—	8	2	no	—
165	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
166	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₄×D₄	#41	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	#107	—	2	4	no	—
190	#107	—	2	4	no	—
191	#107	—	2	8	no	—
192	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	#106	—	4	2	no	—
194	#106	—	8	1	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	#103	—	4	4	no	—
202	#103	—	4	4	no	—
203	#103	—	8	2	no	—
204	#103	—	8	2	no	—
205	#102	—	2	8	no	—
206	#102	—	2	4	no	—
207	#102	—	4	4	no	—
208	#102	—	4	4	no	—
209	#102	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
212	#97	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	1	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	1	no	—
217	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
218	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	#95	—	2	1	no	—
220	#95	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	—	2	1	no	—
222	C₂⁴	—	2	2	no	—
223	#41	—	4	16	no	—
224	#41	—	8	8	no	—
225	#41	—	8	8	no	—
226	#41	—	8	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	8	4	no	—
242	C₂×D₄	—	8	4	no	—
243	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	D₈	—	2	8	no	—
273	M₁₆	—	8	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	1	no	—
281	C₂×C₈	—	4	1	no	—
282	C₂×C₈	—	4	8	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	1	no	—
286	C₂×C₈	—	4	1	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	1	no	—
291	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
310	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
311	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
318	C₄²	—	4	1	no	—
319	C₄²	—	4	1	no	—
320	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
337	Q₈	—	4	4	no	—
338	Q₈	—	4	4	no	—
339	Q₈	—	8	2	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	D₄	—	2	4	no	—
342	D₄	—	2	4	no	—
343	D₄	—	2	2	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	8	16	no	—
348	D₄	#442	1	4	yes	complemented
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	1	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	16	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	16	8	no	—
375	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	4	2	no	—
389	C₈	—	4	2	no	—
390	C₈	—	8	1	no	—
391	C₈	—	8	1	no	—
392	C₈	—	8	2	no	—
393	C₈	#417	1	4	yes	complemented
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	4	no	—
400	C₂²	—	4	4	no	—
401	C₂²	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	8	2	no	—
403	C₂²	—	8	2	no	—
404	C₂²	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#3264	1	2	yes	—
408	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#3289	1	2	yes	—
411	C₄	—	2	1	no	—
412	C₄	—	2	1	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	4	4	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	—	8	2	no	—
417	C₄	—	16	2	no	—
418	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#2898	1	1	yes	characteristic
420	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#3264	1	2	yes	—
423	C₄	#3330	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#3331	1	1	yes	characteristic
425	C₂	—	4	4	no	—
426	C₂	—	8	4	no	—
427	C₂	#20163	1	2	yes	—
428	C₂	#20165	1	2	yes	—
429	C₂	#22431	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#22436	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#22465	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3334	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22670	C₂	semidirect
3. #22431	C₂	semidirect
4. C₂×#1594	C₂	semidirect
5. #9836	C₂	semidirect
6. #9740	C₂	semidirect
7. #9227	C₂	semidirect
8. #8981	C₂	semidirect
9. #8642	C₂	semidirect
10. #8446	C₂	semidirect
11. #8202	C₂	semidirect
14. #3334	C₄	semidirect
55. #547	C₂×C₄	semidirect
66. #500	C₂×C₄	semidirect
69. #474	C₂×C₄	semidirect
77. C₈×D₄	C₂×C₄	semidirect
348. D₄	#442	semidirect
393. C₈	#417	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3334	2
#22670	2
#22431	2
C₂×#1594	2
#9836	2
#9740	2
#9227	2
#8981	2
#8642	2
#8446	2
#8202	2