Subgroups — #220906

Order 512.

1179 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 449 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9743	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9229	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#8203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#550	C₂²	1	2	yes	—
13	#3391	—	2	4	no	—
14	#3391	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#493	—	2	1	no	—
16	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#459	—	2	2	no	—
18	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#442	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#417	—	2	2	no	—
25	D₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	#1982	C₂²	1	2	yes	—
27	#1957	C₂²	1	2	yes	—
28	#1957	C₂²	1	2	yes	—
29	#1943	—	2	1	no	—
30	#1895	—	2	2	no	—
31	#1874	—	2	2	no	—
32	#1864	—	2	2	no	—
33	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1803	C₂²	1	2	yes	—
35	#1802	C₂²	1	2	yes	—
36	#1788	—	2	2	no	—
37	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1594	—	2	4	no	—
40	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
54	#550	—	2	4	no	—
55	#550	—	2	4	no	—
56	#550	—	4	2	no	—
57	#550	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×#121	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
67	#493	—	2	8	no	—
68	#493	—	2	2	no	—
69	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	#459	—	2	4	no	—
71	#459	—	2	16	no	—
72	#459	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	#442	—	4	4	no	—
76	C₄×D₈	—	2	8	no	—
77	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
79	#436	—	2	4	no	—
80	#436	—	4	2	no	—
81	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#106	—	2	1	no	—
83	C₂×#106	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#417	—	4	8	no	—
89	C₂×#103	—	2	2	no	—
90	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×#102	—	2	2	no	—
92	C₂×#102	—	2	2	no	—
93	C₂×#102	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	2	no	—
95	C₂×#102	—	2	2	no	—
96	C₂×#102	—	2	2	no	—
97	C₂×#102	—	4	2	no	—
98	C₂×#102	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×#97	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#389	—	2	2	no	—
106	#385	—	4	2	no	—
107	#384	C₂³	1	2	yes	—
108	#380	—	2	2	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	#340	—	2	2	no	—
111	#340	—	2	2	no	—
112	#340	D₄	1	2	yes	—
113	#336	—	2	1	no	—
114	#334	—	2	2	no	—
115	#331	—	4	2	no	—
116	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
117	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
118	#322	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	8	no	—
120	C₂×#41	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	—	4	4	no	—
122	C₂×#41	—	4	4	no	—
123	C₂×#41	—	8	2	no	—
124	C₂×#41	—	8	2	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	8	no	—
136	C₂×D₈	—	2	4	no	—
137	C₂×D₈	—	2	4	no	—
138	C₂×D₈	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	2	2	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	8	1	no	—
143	C₂×D₈	—	8	1	no	—
144	C₂×D₈	—	8	2	no	—
145	C₂×D₈	—	8	2	no	—
146	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	#127	—	2	8	no	—
158	#127	—	2	2	no	—
159	#127	—	2	2	no	—
160	#127	—	2	2	no	—
161	#127	—	4	4	no	—
162	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	#121	—	2	8	no	—
164	#121	—	4	8	no	—
165	#121	—	4	8	no	—
166	#121	—	4	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄×Q₈	#41	1	2	yes	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	2	2	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	C₄×D₄	—	4	4	no	—
176	C₄×D₄	—	8	2	no	—
177	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	#106	—	4	2	no	—
197	#106	—	8	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
205	#103	—	2	4	no	—
206	#103	—	4	4	no	—
207	#102	—	2	8	no	—
208	#102	—	4	4	no	—
209	#102	—	4	4	no	—
210	#102	—	4	4	no	—
211	#102	—	8	2	no	—
212	#102	—	8	2	no	—
213	#102	—	8	4	no	—
214	#102	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
216	#97	—	4	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	1	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	—	2	1	no	—
221	C₄×C₈	—	2	1	no	—
222	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	#95	—	2	1	no	—
225	#95	—	4	2	no	—
226	C₂⁴	—	2	2	no	—
227	C₂⁴	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	16	no	—
229	#41	—	8	8	no	—
230	#41	—	8	8	no	—
231	#41	—	8	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	8	4	no	—
258	C₂×D₄	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	2	no	—
260	C₂×D₄	—	8	2	no	—
261	C₂×D₄	—	16	2	no	—
262	C₂×D₄	—	16	2	no	—
263	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
284	D₈	—	2	8	no	—
285	D₈	—	4	8	no	—
286	D₈	—	8	4	no	—
287	D₈	—	8	8	no	—
288	M₁₆	—	8	8	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	1	no	—
296	C₂×C₈	—	4	1	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	1	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	1	no	—
305	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
321	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
322	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	—	2	2	no	—
329	C₄²	—	4	1	no	—
330	C₄²	—	4	1	no	—
331	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	—	4	4	no	—
343	C₂³	—	8	2	no	—
344	C₂³	—	8	2	no	—
345	C₂³	—	8	2	no	—
346	C₂³	—	8	2	no	—
347	C₂³	—	8	2	no	—
348	C₂³	—	8	2	no	—
349	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
350	Q₈	—	2	2	no	—
351	Q₈	—	2	4	no	—
352	Q₈	#442	1	4	yes	complemented
353	D₄	—	2	4	no	—
354	D₄	—	2	4	no	—
355	D₄	—	4	2	no	—
356	D₄	—	4	2	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	4	4	no	—
361	D₄	—	8	16	no	—
362	D₄	—	8	4	no	—
363	D₄	—	8	2	no	—
364	D₄	—	8	2	no	—
365	D₄	—	8	2	no	—
366	D₄	—	8	2	no	—
367	D₄	—	16	2	no	—
368	D₄	—	16	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	8	16	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	—	16	8	no	—
389	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
401	C₈	—	2	2	no	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	4	2	no	—
404	C₈	—	8	1	no	—
405	C₈	—	8	1	no	—
406	C₈	—	8	2	no	—
407	C₈	#417	1	4	yes	complemented
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	2	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	—	8	4	no	—
418	C₂²	—	16	2	no	—
419	C₂²	—	16	2	no	—
420	C₂²	—	16	2	no	—
421	C₂²	—	16	2	no	—
422	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3264	1	2	yes	—
424	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#3288	1	2	yes	—
427	C₄	—	2	4	no	—
428	C₄	—	2	1	no	—
429	C₄	—	2	1	no	—
430	C₄	—	4	4	no	—
431	C₄	—	4	2	no	—
432	C₄	—	8	2	no	—
433	C₄	—	16	2	no	—
434	C₄	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#2897	1	1	yes	characteristic
436	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#3264	1	2	yes	—
439	C₄	#3332	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#3333	1	1	yes	characteristic
441	C₂	—	8	4	no	—
442	C₂	—	16	4	no	—
443	C₂	#20170	1	2	yes	—
444	C₂	#20172	1	2	yes	—
445	C₂	#22432	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#22436	1	1	yes	characteristic
447	C₂	#22463	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#3391	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22670	C₂	semidirect
3. #22432	C₂	semidirect
4. C₂×#1594	C₂	semidirect
5. #9837	C₂	semidirect
6. #9743	C₂	semidirect
7. #9229	C₂	semidirect
8. #8977	C₂	semidirect
9. #8643	C₂	semidirect
10. #8444	C₂	semidirect
11. #8203	C₂	semidirect
14. #3391	C₄	semidirect
57. #550	C₂×C₄	semidirect
69. #493	C₂×C₄	semidirect
72. #459	C₂×C₄	semidirect
74. C₈×Q₈	C₂×C₄	semidirect
352. Q₈	#442	semidirect
407. C₈	#417	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3391	2
#22670	2
#22432	2
C₂×#1594	2
#9837	2
#9743	2
#9229	2
#8977	2
#8643	2
#8444	2
#8203	2