Subgroups — #22095

Order 256.

369 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 259 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3091	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1937	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1922	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1826	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#485	C₄	1	2	yes	complemented
18	#484	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#483	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#482	C₄	1	2	yes	complemented
21	#481	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	#480	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#435	—	2	1	no	—
24	#435	—	2	1	no	—
25	C₈×D₄	—	2	1	no	—
26	C₈×D₄	—	2	1	no	—
27	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
28	#427	C₂²	1	2	yes	—
29	#424	—	2	1	no	—
30	#424	—	2	1	no	—
31	#424	C₂²	1	2	yes	—
32	#424	C₂²	1	2	yes	—
33	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
35	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
36	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
37	#416	C₂²	1	2	yes	—
38	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#341	C₂²	1	2	yes	—
45	#339	C₂²	1	2	yes	—
46	#339	C₂²	1	2	yes	—
47	#339	C₂²	1	2	yes	—
48	#336	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#131	—	4	2	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
61	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#123	—	2	1	no	—
69	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	#120	—	2	1	no	—
74	C₄×D₄	—	2	1	no	—
75	C₄×D₄	—	2	1	no	—
76	#117	—	2	1	no	—
77	#117	—	2	1	no	—
78	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#117	C₂³	1	2	yes	—
80	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
87	#108	—	4	2	no	—
88	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
98	#104	—	4	2	no	—
99	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	#97	—	2	1	no	—
111	C₄×C₈	—	2	1	no	—
112	C₄×C₈	—	4	2	no	—
113	#95	—	2	1	no	—
114	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
115	#41	—	2	2	no	—
116	#41	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	M₁₆	—	2	2	no	—
135	M₁₆	—	2	2	no	—
136	M₁₆	—	2	2	no	—
137	M₁₆	—	2	2	no	—
138	M₁₆	—	4	2	no	—
139	M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	4	1	no	—
148	C₂×C₈	—	4	1	no	—
149	C₂×C₈	—	4	1	no	—
150	C₂×C₈	—	4	1	no	—
151	C₂×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₄²	—	2	2	no	—
176	C₄²	—	2	1	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	4	1	no	—
184	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
187	Q₈	—	2	2	no	—
188	D₄	—	2	2	no	—
189	D₄	—	4	2	no	—
190	D₄	—	4	2	no	—
191	D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
217	C₈	—	2	2	no	—
218	C₈	—	2	2	no	—
219	C₈	—	2	1	no	—
220	C₈	—	2	1	no	—
221	C₈	—	2	1	no	—
222	C₈	—	2	1	no	—
223	C₈	—	4	1	no	—
224	C₈	—	4	2	no	—
225	C₈	—	4	1	no	—
226	C₂²	—	2	1	no	—
227	C₂²	—	2	1	no	—
228	C₂²	—	2	1	no	—
229	C₂²	—	2	1	no	—
230	C₂²	—	2	1	no	—
231	C₂²	—	2	1	no	—
232	C₂²	—	2	1	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	4	1	no	—
235	C₂²	—	4	1	no	—
236	C₂²	—	4	1	no	—
237	C₂²	#443	1	2	yes	—
238	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²	#539	1	2	yes	—
240	C₄	—	2	1	no	—
241	C₄	—	2	1	no	—
242	C₄	—	4	4	no	—
243	C₄	—	4	1	no	—
244	C₄	—	4	2	no	—
245	C₄	—	4	1	no	—
246	C₄	—	4	2	no	—
247	C₄	—	4	1	no	—
248	C₄	#520	1	2	yes	—
249	C₄	#534	1	1	yes	characteristic
250	C₄	#536	1	1	yes	characteristic
251	C₂	—	2	2	no	—
252	C₂	—	2	2	no	—
253	C₂	—	4	1	no	—
254	C₂	—	8	1	no	—
255	C₂	#2322	1	1	yes	characteristic
256	C₂	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#525	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#424	C₂	semidirect
4. #1945	C₂	semidirect
5. #1937	C₂	semidirect
6. #1922	C₂	semidirect
8. #1866	C₂	semidirect
9. #1855	C₂	semidirect
10. #1826	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
17. #485	C₄	semidirect
18. #484	C₄	semidirect
19. #483	C₄	semidirect
20. #482	C₄	semidirect
21. #481	C₄	semidirect
22. #480	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3091	2
#2929	2
C₂×#424	2
#1945	2
#1937	2
#1922	2
#1871	2
#1866	2
#1855	2
#1826	2
C₈×C₂²⋊C₄	2