Subgroups — #220970

Order 512.

862 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#22525	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9730	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9224	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8974	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8451	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
13	Q₈×Q₁₆	—	2	4	no	—
14	Q₈×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#500	—	2	1	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#477	—	2	2	no	—
18	C₂×#477	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2355	C₂²	1	2	yes	—
24	#1993	—	2	2	no	—
25	#1990	C₂²	1	2	yes	—
26	#1988	—	2	2	no	—
27	#1987	C₂²	1	2	yes	—
28	#1969	—	2	1	no	—
29	#1956	C₂²	1	2	yes	—
30	#1928	—	2	2	no	—
31	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1805	—	2	2	no	—
33	#1803	C₂²	1	2	yes	—
34	#1803	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#107	—	2	1	no	—
36	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1763	—	2	2	no	—
38	C₄×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1591	—	2	4	no	—
40	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1279	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
49	Q₈²	—	2	4	no	—
50	Q₈²	—	2	4	no	—
51	Q₈²	—	4	2	no	—
52	Q₈²	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#500	—	2	8	no	—
62	#500	—	2	2	no	—
63	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#477	—	2	4	no	—
65	#477	—	2	16	no	—
66	#477	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#446	—	2	4	no	—
68	#446	—	4	2	no	—
69	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
72	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#107	—	2	1	no	—
75	C₂×#107	—	2	1	no	—
76	C₂×#107	—	2	2	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	—	2	1	no	—
79	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#103	—	2	2	no	—
86	C₂×#103	—	2	2	no	—
87	C₂×#103	—	2	2	no	—
88	C₂×#103	—	4	2	no	—
89	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#103	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×#103	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#391	—	2	2	no	—
99	#387	—	4	2	no	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	#382	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#340	—	2	2	no	—
106	#340	—	2	2	no	—
107	#340	—	2	2	no	—
108	#340	—	2	2	no	—
109	#340	—	2	2	no	—
110	#340	—	2	2	no	—
111	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
112	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
113	#336	—	2	1	no	—
114	#335	—	2	2	no	—
115	#333	—	4	2	no	—
116	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
117	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
118	C₈²	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
121	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
143	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
150	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
152	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₄×Q₈	#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	#107	—	2	4	no	—
176	#107	—	2	4	no	—
177	#107	—	2	8	no	—
178	#107	—	4	2	no	—
179	#107	—	8	1	no	—
180	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	#103	—	2	8	no	—
190	#103	—	2	2	no	—
191	#103	—	4	4	no	—
192	#103	—	8	2	no	—
193	#103	—	8	4	no	—
194	#103	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
195	#103	Q₁₆	1	4	yes	complemented
196	#97	—	4	4	no	—
197	C₄×C₈	—	2	4	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	1	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	4	2	no	—
203	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	#95	—	2	1	no	—
206	#95	—	4	2	no	—
207	#95	—	4	2	no	—
208	#95	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
224	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	#135	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	Q₁₆	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
284	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
285	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	4	8	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	—	4	1	no	—
294	C₄²	—	16	2	no	—
295	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	2	2	no	—
301	Q₈	—	2	2	no	—
302	Q₈	—	2	2	no	—
303	Q₈	—	2	4	no	—
304	Q₈	—	2	4	no	—
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	4	2	no	—
307	Q₈	—	8	4	no	—
308	Q₈	—	16	2	no	—
309	Q₈	—	16	8	no	—
310	Q₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	4	1	no	—
356	C₈	—	8	1	no	—
357	C₈	—	8	2	no	—
358	C₈	#419	1	4	yes	—
359	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3276	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#3278	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3290	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	4	4	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	8	4	no	—
374	C₄	—	8	1	no	—
375	C₄	—	16	2	no	—
376	C₄	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2898	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2950	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
381	C₄	D₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3328	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#3329	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#19930	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#19932	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#19940	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#19942	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#22430	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂²⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#22466	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	D₄²
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
14. Q₈×Q₁₆	C₄	semidirect
195. #103	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×Q₁₆	2
#22808	2
#22525	2
C₂×#1591	2
#9823	2
#9730	2
#9224	2
#8974	2
#8645	2
#8451	2
C₈×#103	2