Subgroups — #22098

Order 256.

425 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 242 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1923	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1923	C₂	1	2	yes	maximal
9	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
16	#431	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#391	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#389	C₄	1	1	yes	characteristic
32	#387	C₄	1	2	yes	—
33	#385	C₄	1	2	yes	—
34	#380	C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	#336	C₂²	1	2	yes	—
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²⋊Q₈	C₈	1	8	yes	complemented
54	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
78	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
81	C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₄×C₈	—	4	2	no	—
84	C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
85	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
105	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
139	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
140	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
142	C₄²	—	2	2	no	—
143	C₄²	—	2	2	no	—
144	C₄²	—	2	2	no	—
145	C₄²	—	2	1	no	—
146	C₄²	—	2	1	no	—
147	C₄²	—	2	2	no	—
148	C₄²	—	2	2	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₄²	#41	1	2	yes	—
152	C₂³	—	2	1	no	—
153	C₂³	—	2	1	no	—
154	C₂³	—	2	1	no	—
155	C₂³	—	2	1	no	—
156	C₂³	—	2	1	no	—
157	C₂³	—	2	1	no	—
158	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
159	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
160	Q₈	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂×C₄	—	4	1	no	—
185	C₂×C₄	—	4	1	no	—
186	C₂×C₄	—	4	1	no	—
187	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₈	—	2	2	no	—
201	C₈	—	2	2	no	—
202	C₈	—	4	1	no	—
203	C₈	—	4	1	no	—
204	C₈	—	4	2	no	—
205	C₈	—	4	2	no	—
206	C₂²	—	2	2	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	—	2	2	no	—
209	C₂²	—	4	1	no	—
210	C₂²	—	4	1	no	—
211	C₂²	—	4	1	no	—
212	C₂²	—	4	1	no	—
213	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²	#519	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
220	C₄	—	2	2	no	—
221	C₄	—	2	4	no	—
222	C₄	—	2	2	no	—
223	C₄	—	2	4	no	—
224	C₄	—	4	1	no	—
225	C₄	—	4	2	no	—
226	C₄	—	4	1	no	—
227	C₄	—	4	2	no	—
228	C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
229	C₄	#536	1	1	yes	characteristic
230	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
231	C₄	#541	1	1	yes	characteristic
232	C₄	#542	1	1	yes	characteristic
233	C₂	—	4	2	no	—
234	C₂	#2323	1	1	yes	characteristic
235	C₂	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂	#2930	1	1	yes	characteristic
237	C₂	#2982	1	1	yes	characteristic
238	C₂	#2985	1	1	yes	characteristic
239	C₂	#2988	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#2993	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₈×Q₈	C₂	semidirect
4. #1984	C₂	semidirect
5. #1939	C₂	semidirect
6. #1939	C₂	semidirect
9. #1916	C₂	semidirect
11. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
53. C₂²⋊Q₈	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×Q₈	2
C₂×#431	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
#1984	2
#1939	2
#1923	2
#1916	2
#1797	2
C₈×C₄⋊C₄	2