Subgroups — #22112

Order 256.

386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 230 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#475	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1941	C₂	1	2	yes	maximal
7	#1933	C₂	1	2	yes	maximal
8	#1927	C₂	1	2	yes	maximal
9	#1920	C₂	1	2	yes	maximal
10	#1803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#475	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#391	—	2	1	no	—
24	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#389	—	2	1	no	—
27	#389	C₂²	1	2	yes	—
28	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#387	—	2	1	no	—
31	#387	—	2	1	no	—
32	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
34	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
35	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#376	—	2	1	no	—
38	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
52	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#106	—	4	2	no	—
76	#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#103	—	4	2	no	—
80	#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	C₄×C₈	—	4	2	no	—
82	#95	—	2	1	no	—
83	#95	—	2	1	no	—
84	#95	—	2	1	no	—
85	#95	—	2	1	no	—
86	#95	—	2	1	no	—
87	#95	—	2	1	no	—
88	#95	—	2	2	no	—
89	#95	—	2	1	no	—
90	#95	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
93	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
97	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
98	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
99	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
122	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
125	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
126	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
129	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
132	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
134	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₄²	—	2	4	no	—
137	C₄²	—	2	2	no	—
138	C₄²	—	2	2	no	—
139	C₄²	—	2	1	no	—
140	C₄²	—	2	1	no	—
141	C₄²	—	2	1	no	—
142	C₄²	—	2	1	no	—
143	C₄²	—	4	1	no	—
144	C₄²	—	4	4	no	—
145	C₄²	—	4	2	no	—
146	C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
147	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₄²	#41	1	2	yes	—
149	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	Q₈	—	2	2	no	—
151	Q₈	—	2	2	no	—
152	Q₈	—	4	1	no	—
153	Q₈	—	4	1	no	—
154	Q₈	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	4	1	no	—
170	C₂×C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	1	no	—
174	C₂×C₄	—	4	1	no	—
175	C₂×C₄	—	4	1	no	—
176	C₂×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄	—	4	1	no	—
180	C₂×C₄	—	4	1	no	—
181	C₂×C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
187	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
188	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₈	—	2	4	no	—
198	C₈	—	4	2	no	—
199	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²	#536	1	1	yes	characteristic
201	C₂²	#537	1	1	yes	characteristic
202	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
204	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
205	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
206	C₄	—	2	2	no	—
207	C₄	—	2	2	no	—
208	C₄	—	2	2	no	—
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	4	2	no	—
211	C₄	—	4	4	no	—
212	C₄	—	4	2	no	—
213	C₄	—	4	1	no	—
214	C₄	—	8	1	no	—
215	C₄	—	8	2	no	—
216	C₄	—	8	1	no	—
217	C₄	C₄×SD₁₆	1	4	yes	—
218	C₄	#519	1	1	yes	characteristic
219	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
220	C₄	#541	1	1	yes	characteristic
221	C₄	#542	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#2323	1	1	yes	characteristic
223	C₂	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
224	C₂	C₄×#137	1	1	yes	characteristic
225	C₂	#3229	1	1	yes	characteristic
226	C₂	#3233	1	1	yes	characteristic
227	C₂	#3246	1	1	yes	characteristic
228	C₂	#3248	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. #475	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#475	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
#2295	2
#1988	2
#1948	2
#1941	2
#1933	2
#1927	2
#1920	2
#1803	2
C₄×C₄⋊C₈	2