Subgroups — #22136

Order 256.

448 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2392	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1955	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1955	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1924	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₈×D₄	—	2	4	no	—
17	#433	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#398	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#397	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#396	C₄	1	2	yes	—
35	#394	C₄	1	2	yes	—
36	#394	C₄	1	1	yes	characteristic
37	#392	C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
49	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
50	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₄×D₄	—	4	2	no	—
59	C₄×D₄	—	4	2	no	—
60	#117	—	2	2	no	—
61	#117	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
82	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
85	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
86	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
87	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
88	#97	—	2	2	no	—
89	#97	—	4	2	no	—
90	C₄×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
91	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	—	4	2	no	—
101	C₂×D₄	—	4	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₈	—	4	8	no	—
140	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₄²	—	2	1	no	—
155	C₄²	—	2	1	no	—
156	C₄²	—	2	2	no	—
157	C₄²	—	2	2	no	—
158	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄²	#41	1	2	yes	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	2	no	—
163	C₂³	—	2	2	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	1	no	—
167	C₂³	—	2	1	no	—
168	C₂³	—	2	1	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	2	2	no	—
171	C₂³	#131	1	4	yes	—
172	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
173	D₄	—	2	8	no	—
174	D₄	—	4	8	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	1	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	2	2	no	—
211	C₈	—	4	1	no	—
212	C₈	—	4	2	no	—
213	C₈	—	4	1	no	—
214	C₈	—	4	2	no	—
215	C₂²	—	2	4	no	—
216	C₂²	—	2	4	no	—
217	C₂²	—	2	4	no	—
218	C₂²	—	4	2	no	—
219	C₂²	—	4	2	no	—
220	C₂²	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	4	2	no	—
222	C₂²	—	4	1	no	—
223	C₂²	—	4	1	no	—
224	C₂²	—	4	1	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
231	C₂²	#568	1	2	yes	—
232	C₄	—	2	2	no	—
233	C₄	—	2	2	no	—
234	C₄	—	4	2	no	—
235	C₄	—	4	1	no	—
236	C₄	—	4	1	no	—
237	C₄	—	4	1	no	—
238	C₄	—	4	2	no	—
239	C₄	—	4	2	no	—
240	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
241	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
242	C₄	#540	1	1	yes	characteristic
243	C₄	#542	1	1	yes	characteristic
244	C₂	—	4	4	no	—
245	C₂	—	8	1	no	—
246	C₂	#2324	1	1	yes	characteristic
247	C₂	#2929	1	1	yes	characteristic
248	C₂	#2932	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#2976	1	2	yes	—
250	C₂	#2992	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	#392	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
2. C₂×#433	C₂	semidirect
4. #1955	C₂	semidirect
5. #1955	C₂	semidirect
6. #1940	C₂	semidirect
7. #1924	C₂	semidirect
8. #1869	C₂	semidirect
9. #1850	C₂	semidirect
10. #1798	C₂	semidirect
11. #1770	C₂	semidirect
90. C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×D₄	2
C₂×#433	2
#2392	2
#1955	2
#1940	2
#1924	2
#1869	2
#1850	2
#1798	2
#1770	2