Subgroups — #22165

Order 256.

382 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1980	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1937	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#464	C₄	1	2	yes	complemented
17	#463	C₄	1	2	yes	complemented
18	#462	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#461	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#460	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#459	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	#436	—	2	1	no	—
23	#436	—	2	1	no	—
24	C₈×D₄	—	2	1	no	—
25	C₈×D₄	—	2	1	no	—
26	#433	—	2	1	no	—
27	#433	—	2	1	no	—
28	#431	—	2	1	no	—
29	#431	—	2	1	no	—
30	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
31	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
38	#416	C₂²	1	2	yes	—
39	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#408	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#341	C₂²	1	2	yes	—
47	#339	C₂²	1	2	yes	—
48	#336	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
51	#135	—	4	2	no	—
52	#135	—	4	2	no	—
53	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#131	—	4	2	no	—
58	#131	—	4	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#121	—	2	1	no	—
71	#121	—	2	1	no	—
72	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₄×D₄	—	2	1	no	—
75	C₄×D₄	—	2	1	no	—
76	C₄×D₄	—	2	1	no	—
77	C₄×D₄	—	2	1	no	—
78	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#117	—	2	1	no	—
81	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#108	—	4	2	no	—
87	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
88	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
89	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
92	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
93	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#104	—	4	2	no	—
97	#104	—	4	2	no	—
98	#104	—	4	2	no	—
99	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
109	#97	—	2	1	no	—
110	C₄×C₈	—	2	1	no	—
111	C₄×C₈	—	4	2	no	—
112	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#95	—	2	1	no	—
117	#41	—	2	1	no	—
118	#41	—	2	2	no	—
119	#41	—	2	2	no	—
120	#41	—	2	2	no	—
121	#41	—	2	1	no	—
122	#41	—	2	1	no	—
123	#41	—	2	1	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×D₄	—	2	1	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	1	no	—
130	C₂×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	Q₁₆	—	4	2	no	—
142	SD₁₆	—	4	2	no	—
143	SD₁₆	—	4	2	no	—
144	D₈	—	4	2	no	—
145	M₁₆	—	2	1	no	—
146	M₁₆	—	2	1	no	—
147	M₁₆	—	2	2	no	—
148	M₁₆	—	2	1	no	—
149	M₁₆	—	2	2	no	—
150	M₁₆	—	2	1	no	—
151	M₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	4	4	no	—
162	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	2	1	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₄²	—	2	2	no	—
184	C₄²	—	2	2	no	—
185	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂³	—	2	1	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
192	Q₈	—	2	1	no	—
193	Q₈	—	2	2	no	—
194	Q₈	—	2	2	no	—
195	Q₈	—	2	1	no	—
196	D₄	—	2	1	no	—
197	D₄	—	2	2	no	—
198	D₄	—	2	2	no	—
199	D₄	—	2	1	no	—
200	D₄	—	4	2	no	—
201	D₄	—	4	1	no	—
202	D₄	—	4	2	no	—
203	D₄	—	4	1	no	—
204	D₄	—	4	2	no	—
205	D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₈	—	2	2	no	—
232	C₈	—	2	2	no	—
233	C₈	—	2	1	no	—
234	C₈	—	2	1	no	—
235	C₈	—	2	1	no	—
236	C₈	—	2	1	no	—
237	C₈	—	4	2	no	—
238	C₈	—	4	1	no	—
239	C₈	—	4	1	no	—
240	C₂²	—	2	1	no	—
241	C₂²	—	2	1	no	—
242	C₂²	—	4	2	no	—
243	C₂²	—	4	1	no	—
244	C₂²	—	4	1	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	1	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#540	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	#542	1	1	yes	characteristic
251	C₄	—	2	1	no	—
252	C₄	—	2	1	no	—
253	C₄	—	2	1	no	—
254	C₄	—	4	4	no	—
255	C₄	—	4	1	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	—	4	1	no	—
258	C₄	—	4	1	no	—
259	C₄	#443	1	2	yes	—
260	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
261	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
262	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
263	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
264	C₂	—	2	1	no	—
265	C₂	—	2	1	no	—
266	C₂	—	8	1	no	—
267	C₂	—	8	2	no	—
268	C₂	#2324	1	1	yes	characteristic
269	C₂	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3035	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2931	C₂	semidirect
3. #2922	C₂	semidirect
4. #1980	C₂	semidirect
5. #1974	C₂	semidirect
6. #1950	C₂	semidirect
7. #1937	C₂	semidirect
8. #1876	C₂	semidirect
9. #1866	C₂	semidirect
10. #1806	C₂	semidirect
11. C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
16. #464	C₄	semidirect
17. #463	C₄	semidirect
18. #462	C₄	semidirect
19. #461	C₄	semidirect
20. #460	C₄	semidirect
21. #459	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3035	2
#2931	2
#2922	2
#1980	2
#1974	2
#1950	2
#1937	2
#1876	2
#1866	2
#1806	2
C₈×C₄⋊C₄	2