Subgroups — #22178

Order 256.

479 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#1923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#436	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	#390	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#389	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#388	C₄	1	2	yes	—
29	#386	C₄	1	2	yes	—
30	#380	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	#336	C₂²	1	2	yes	—
34	#336	C₂²	1	2	yes	—
35	#336	C₂²	1	2	yes	—
36	#336	C₂²	1	2	yes	—
37	#336	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
47	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
48	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
49	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
50	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
51	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
52	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
53	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	#121	—	2	4	no	—
58	C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₄×D₄	—	4	1	no	—
61	C₄×D₄	—	4	1	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
72	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
73	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
80	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
81	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
84	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
85	C₄×C₈	—	2	4	no	—
86	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂×D₄	—	4	1	no	—
95	C₂×D₄	—	4	1	no	—
96	C₂×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	M₁₆	—	4	4	no	—
125	M₁₆	—	4	8	no	—
126	M₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
141	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
142	C₄⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
143	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₄²	—	2	2	no	—
149	C₄²	—	2	2	no	—
150	C₄²	—	2	1	no	—
151	C₄²	—	2	1	no	—
152	C₄²	—	2	1	no	—
153	C₄²	—	2	1	no	—
154	C₄²	—	4	1	no	—
155	C₄²	—	4	1	no	—
156	C₂³	—	2	1	no	—
157	C₂³	—	2	1	no	—
158	C₂³	—	2	1	no	—
159	C₂³	—	2	1	no	—
160	C₂³	—	2	1	no	—
161	C₂³	—	2	1	no	—
162	C₂³	—	2	2	no	—
163	C₂³	—	2	2	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	2	no	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
170	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
171	D₄	—	4	8	no	—
172	D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
205	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₈	—	2	4	no	—
214	C₈	—	4	2	no	—
215	C₈	—	4	2	no	—
216	C₈	—	4	2	no	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	4	1	no	—
221	C₂²	—	4	1	no	—
222	C₂²	—	4	1	no	—
223	C₂²	—	4	1	no	—
224	C₂²	—	4	2	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	4	2	no	—
228	C₂²	—	4	2	no	—
229	C₂²	—	4	2	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
233	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
238	C₄	—	2	2	no	—
239	C₄	—	2	4	no	—
240	C₄	—	2	2	no	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	4	2	no	—
243	C₄	—	4	2	no	—
244	C₄	—	4	1	no	—
245	C₄	—	4	1	no	—
246	C₄	#534	1	1	yes	characteristic
247	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
248	C₄	#538	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#539	1	1	yes	characteristic
250	C₂	—	4	2	no	—
251	C₂	—	8	2	no	—
252	C₂	#2325	1	1	yes	characteristic
253	C₂	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#2935	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#2975	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#2976	1	1	yes	characteristic
257	C₂	#2991	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#2995	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#121	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#436	C₂	semidirect
3. #1923	C₂	semidirect
4. #1916	C₂	semidirect
5. #1870	C₂	semidirect
6. #1870	C₂	semidirect
7. #1851	C₂	semidirect
8. #1797	C₂	semidirect
9. #1728	C₂	semidirect
52. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
142. C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#436	2
C₄×#121	2
#1923	2
#1916	2
#1870	2
#1851	2
#1797	2
#1728	2