Subgroups — #22206

Order 256.

387 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2930	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1922	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#525	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#467	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	#467	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#466	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#466	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#465	C₄	1	2	yes	complemented
21	#465	C₄	1	2	yes	complemented
22	#436	—	2	2	no	—
23	#436	—	2	2	no	—
24	#435	—	2	2	no	—
25	#435	—	2	2	no	—
26	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#424	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
32	#416	C₂²	1	2	yes	—
33	#408	C₂²	1	2	yes	—
34	#407	C₂²	1	2	yes	—
35	#405	C₂²	1	2	yes	—
36	#341	C₂²	1	2	yes	—
37	#339	C₂²	1	2	yes	—
38	#339	C₂²	1	2	yes	—
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#135	—	4	1	no	—
44	#135	—	4	1	no	—
45	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#131	—	4	2	no	—
49	#131	—	4	2	no	—
50	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
52	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
53	C₂×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
60	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
61	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	#123	—	2	2	no	—
69	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#120	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	#117	—	4	1	no	—
77	#117	—	4	1	no	—
78	#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	#108	—	4	1	no	—
83	#108	—	4	1	no	—
84	#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
89	#104	—	4	2	no	—
90	#104	—	4	2	no	—
91	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
99	#97	—	2	2	no	—
100	C₄×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
102	#41	—	2	2	no	—
103	#41	—	2	2	no	—
104	#41	—	2	2	no	—
105	#41	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	Q₁₆	—	4	1	no	—
124	SD₁₆	—	4	2	no	—
125	D₈	—	4	1	no	—
126	M₁₆	—	2	2	no	—
127	M₁₆	—	2	2	no	—
128	M₁₆	—	2	2	no	—
129	M₁₆	—	2	2	no	—
130	M₁₆	—	4	1	no	—
131	M₁₆	—	4	2	no	—
132	M₁₆	—	4	1	no	—
133	M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	4	1	no	—
143	C₂×C₈	—	4	1	no	—
144	C₂×C₈	—	4	1	no	—
145	C₂×C₈	—	4	1	no	—
146	C₂×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	1	no	—
168	C₂³	—	2	1	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	4	1	no	—
171	C₂³	—	4	1	no	—
172	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
175	Q₈	—	2	2	no	—
176	Q₈	—	2	2	no	—
177	D₄	—	2	2	no	—
178	D₄	—	2	2	no	—
179	D₄	—	4	2	no	—
180	D₄	—	4	2	no	—
181	D₄	—	8	2	no	—
182	D₄	—	8	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₈	—	2	1	no	—
210	C₈	—	2	1	no	—
211	C₈	—	2	1	no	—
212	C₈	—	2	1	no	—
213	C₈	—	2	2	no	—
214	C₈	—	2	2	no	—
215	C₈	—	4	2	no	—
216	C₈	—	4	2	no	—
217	C₂²	—	2	1	no	—
218	C₂²	—	2	1	no	—
219	C₂²	—	2	1	no	—
220	C₂²	—	2	1	no	—
221	C₂²	—	2	1	no	—
222	C₂²	—	2	1	no	—
223	C₂²	—	2	1	no	—
224	C₂²	—	2	1	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	4	2	no	—
228	C₂²	—	4	2	no	—
229	C₂²	—	4	2	no	—
230	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²	#538	1	1	yes	characteristic
232	C₂²	#539	1	1	yes	characteristic
233	C₄	—	2	1	no	—
234	C₄	—	2	1	no	—
235	C₄	—	4	2	no	—
236	C₄	—	4	2	no	—
237	C₄	—	4	2	no	—
238	C₄	—	8	2	no	—
239	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
240	C₄	#520	1	1	yes	characteristic
241	C₄	#534	1	1	yes	characteristic
242	C₄	#537	1	1	yes	characteristic
243	C₂	—	2	1	no	—
244	C₂	—	2	1	no	—
245	C₂	—	4	1	no	—
246	C₂	—	4	1	no	—
247	C₂	—	8	2	no	—
248	C₂	#2325	1	1	yes	characteristic
249	C₂	#2957	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#2957	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3050	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2930	C₂	semidirect
3. #1929	C₂	semidirect
4. #1922	C₂	semidirect
5. #1897	C₂	semidirect
6. #1876	C₂	semidirect
7. #1866	C₂	semidirect
8. #1810	C₂	semidirect
9. #1729	C₂	semidirect
16. #467	C₄	semidirect
17. #467	C₄	semidirect
18. #466	C₄	semidirect
19. #466	C₄	semidirect
20. #465	C₄	semidirect
21. #465	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3050	2
#2930	2
#1929	2
#1922	2
#1897	2
#1876	2
#1866	2
#1810	2
#1729	2