Subgroups — #22208

Order 256.

457 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 183 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#1923	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1850	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
15	C₈×D₄	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#391	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#390	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#388	C₄	1	4	yes	—
28	#382	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#336	C₂²	1	2	yes	—
32	#336	C₂²	1	4	yes	—
33	#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
39	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#124	C₈	1	8	yes	complemented
45	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
65	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
67	C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
70	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
76	C₂×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈	—	4	8	no	—
101	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
108	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
109	C₄²	—	2	2	no	—
110	C₄²	—	2	2	no	—
111	C₄²	—	2	2	no	—
112	C₄²	—	2	2	no	—
113	C₄²	—	2	2	no	—
114	C₄²	—	4	2	no	—
115	C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
116	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₄²	#41	1	2	yes	—
118	C₂³	—	2	2	no	—
119	C₂³	—	2	4	no	—
120	C₂³	—	2	2	no	—
121	C₂³	—	2	4	no	—
122	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
123	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
124	Q₈	—	2	8	no	—
125	D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
147	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
151	C₈	—	2	2	no	—
152	C₈	—	2	2	no	—
153	C₈	—	4	2	no	—
154	C₈	—	4	2	no	—
155	C₈	—	4	2	no	—
156	C₂²	—	2	4	no	—
157	C₂²	—	2	8	no	—
158	C₂²	—	4	2	no	—
159	C₂²	—	4	2	no	—
160	C₂²	—	4	4	no	—
161	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	#520	1	2	yes	—
163	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
165	C₂²	#568	1	2	yes	—
166	C₄	—	2	4	no	—
167	C₄	—	2	2	no	—
168	C₄	—	2	4	no	—
169	C₄	—	4	2	no	—
170	C₄	—	4	2	no	—
171	C₄	—	4	2	no	—
172	C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
173	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
174	C₄	#536	1	1	yes	characteristic
175	C₄	#542	1	2	yes	—
176	C₂	—	4	4	no	—
177	C₂	#2326	1	1	yes	characteristic
178	C₂	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂	#2932	1	1	yes	characteristic
180	C₂	#2988	1	2	yes	—
181	C₂	#2993	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₈×Q₈	C₂	semidirect
4. #1984	C₂	semidirect
6. #1923	C₂	semidirect
7. #1850	C₂	semidirect
8. #1842	C₂	semidirect
9. #1744	C₂	semidirect
44. #124	C₈	semidirect
75. C₂×Q₈	C₂×C₈	semidirect
108. C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
115. C₄²	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×Q₈	2
C₂×C₈×D₄	2
C₄×#124	2
#1984	2
#1954	2
#1923	2
#1850	2
#1842	2
#1744	2