Subgroups — #223088

Order 512.

1108 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×#97	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9890	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9119	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8718	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8579	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1295	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#554	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#547	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
12	C₂²×#97	C₂²	1	4	yes	—
13	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2850	C₂²	1	2	yes	—
15	#2568	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#2563	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2504	C₄	1	2	yes	—
18	#2503	C₄	1	2	yes	—
19	#2489	—	2	2	no	—
20	#2488	—	2	4	no	—
21	#2339	—	2	2	no	—
22	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1770	—	2	2	no	—
26	#1767	C₂²	1	2	yes	—
27	#1752	—	2	4	no	—
28	#1749	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
32	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1295	C₂²	1	2	yes	—
34	#1295	C₂²	1	4	yes	—
35	#1295	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1295	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂²×#41	—	2	1	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
39	#554	—	4	4	no	—
40	#547	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#125	—	2	1	no	—
44	C₂×#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#123	—	2	2	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₈×D₄	—	2	16	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	—	2	8	no	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×#97	—	4	4	no	—
65	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	#400	—	2	2	no	—
70	#400	—	2	4	no	—
71	#397	—	2	4	no	—
72	#393	—	2	2	no	—
73	#391	—	2	2	no	—
74	#391	—	2	2	no	—
75	#391	—	2	2	no	—
76	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#388	—	2	4	no	—
81	#388	—	2	2	no	—
82	#386	—	2	4	no	—
83	#386	—	2	4	no	—
84	#382	—	2	4	no	—
85	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#382	C₂³	1	2	yes	—
89	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#381	—	2	4	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#336	—	2	4	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#329	—	2	4	no	—
102	#329	—	4	2	no	—
103	C₂×#41	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	4	8	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
124	#125	—	4	4	no	—
125	#124	—	2	2	no	—
126	#124	—	2	1	no	—
127	#124	—	2	1	no	—
128	#123	—	4	8	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
132	#121	—	4	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	4	no	—
135	C₄×D₄	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	4	2	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
173	#97	—	2	2	no	—
174	#97	—	2	4	no	—
175	#97	—	2	2	no	—
176	#97	—	2	4	no	—
177	#97	—	2	2	no	—
178	#97	—	4	8	no	—
179	#97	—	4	4	no	—
180	#97	#41	1	4	yes	complemented
181	C₄×C₈	—	2	8	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	#95	—	2	2	no	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂⁴	—	2	1	no	—
192	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	#41	—	8	16	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	1	no	—
203	C₂×D₄	—	2	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	1	no	—
205	C₂×D₄	—	4	1	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	#104	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	4	32	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	1	no	—
275	C₄²	—	4	2	no	—
276	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	4	1	no	—
283	C₂³	—	4	1	no	—
284	C₂³	—	4	1	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×#104	1	8	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	8	1	no	—
291	Q₈	—	8	1	no	—
292	Q₈	—	8	4	no	—
293	Q₈	—	16	2	no	—
294	D₄	—	8	1	no	—
295	D₄	—	8	1	no	—
296	D₄	—	8	8	no	—
297	D₄	#329	1	16	yes	complemented
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	8	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	16	4	no	—
331	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
337	C₈	—	2	8	no	—
338	C₈	—	4	4	no	—
339	C₈	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	8	1	no	—
345	C₂²	—	8	1	no	—
346	C₂²	—	8	1	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	C₂×#329	1	8	yes	—
350	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
354	C₂²	#2901	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	4	1	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	4	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	8	1	no	—
364	C₄	—	8	2	no	—
365	C₄	—	8	1	no	—
366	C₄	—	8	1	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	C₂×#329	1	4	yes	—
369	C₂	—	2	8	no	—
370	C₂	—	16	1	no	—
371	C₂	C₂²×#329	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#17653	1	2	yes	—
373	C₂	#17685	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#22479	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#22505	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#547	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×#97	C₂	semidirect
3. #9890	C₂	semidirect
4. #9119	C₂	semidirect
5. #8718	C₂	semidirect
6. #8579	C₂	semidirect
7. C₄×#329	C₂	semidirect
8. C₂×#1295	C₂	semidirect
180. #97	#41	semidirect
297. D₄	#329	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36164	2
D₄×#97	2
#9890	2
#9119	2
#8718	2
#8579	2
C₄×#329	2
C₂×#1295	2