Subgroups — #223156

Order 512.

1361 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9133	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8723	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#1296	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#547	—	2	2	no	—
10	C₂×#547	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
13	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2856	C₂²	1	2	yes	—
15	#2542	—	2	2	no	—
16	#2542	C₄	1	2	yes	—
17	#2501	—	2	4	no	—
18	#2501	C₄	1	4	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1939	—	2	2	no	—
23	#1850	—	2	4	no	—
24	#1842	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
29	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	2	yes	—
31	#1296	C₂²	1	4	yes	—
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²×#41	—	2	2	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	#547	—	4	8	no	—
37	#547	—	4	8	no	—
38	#547	—	4	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#123	—	2	8	no	—
43	C₂×#123	—	2	4	no	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×#121	—	2	4	no	—
47	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₈×D₄	—	4	8	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	#399	—	2	4	no	—
67	#399	—	2	8	no	—
68	#390	—	2	2	no	—
69	#390	—	2	4	no	—
70	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#384	—	2	2	no	—
73	#384	—	2	4	no	—
74	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#384	C₂³	1	2	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
82	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#336	—	2	4	no	—
84	#336	—	2	2	no	—
85	#331	—	2	4	no	—
86	#331	—	4	2	no	—
87	C₂×#41	—	4	8	no	—
88	C₂×#41	—	4	16	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
107	#127	—	2	2	no	—
108	#127	—	2	1	no	—
109	#127	—	2	1	no	—
110	#123	—	4	16	no	—
111	#123	—	4	32	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
113	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
114	#121	—	4	8	no	—
115	#121	—	4	8	no	—
116	#121	—	4	8	no	—
117	C₄×D₄	—	2	4	no	—
118	C₄×D₄	—	4	4	no	—
119	C₄×D₄	—	4	4	no	—
120	C₄×D₄	—	4	4	no	—
121	C₄×D₄	D₈	1	8	yes	—
122	C₄×D₄	SD₁₆	1	8	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
160	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	complemented
161	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
162	C₄×C₈	—	4	4	no	—
163	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	#41	—	8	32	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	8	no	—
175	C₂×D₄	—	4	16	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
183	C₂×D₄	#102	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	4	no	—
211	C₂×C₈	—	4	2	no	—
212	C₂×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂×C₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	8	16	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	#102	1	8	yes	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²⋊C₄	#102	1	16	yes	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	4	1	no	—
243	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
246	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂×#102	1	8	yes	—
258	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	8	8	no	—
260	D₄	—	8	2	no	—
261	D₄	—	8	2	no	—
262	D₄	—	8	16	no	—
263	D₄	—	8	2	no	—
264	D₄	—	8	2	no	—
265	D₄	—	8	2	no	—
266	D₄	—	8	2	no	—
267	D₄	#331	1	16	yes	complemented
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	8	16	no	—
290	C₂×C₄	—	8	8	no	—
291	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#102	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
303	C₈	—	4	4	no	—
304	C₈	—	8	2	no	—
305	C₈	—	8	4	no	—
306	C₂²	—	2	8	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	8	no	—
310	C₂²	—	8	2	no	—
311	C₂²	—	8	4	no	—
312	C₂²	—	8	2	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	C₂×#331	1	8	yes	—
316	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂²×#102	1	2	yes	—
320	C₂²	#2898	1	2	yes	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	8	no	—
325	C₄	—	4	1	no	—
326	C₄	—	4	2	no	—
327	C₄	—	8	2	no	—
328	C₄	—	8	4	no	—
329	C₄	C₂×#331	1	4	yes	—
330	C₄	#3294	1	2	yes	—
331	C₄	#3298	1	2	yes	—
332	C₄	#3334	1	2	yes	—
333	C₄	#3335	1	2	yes	—
334	C₂	—	2	8	no	—
335	C₂	—	16	2	no	—
336	C₂	C₂²×#331	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#17721	1	2	yes	—
338	C₂	#17779	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#22479	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#22485	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36179	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
3. #9898	C₂	semidirect
4. #9133	C₂	semidirect
5. #8723	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. C₄×#331	C₂	semidirect
8. C₂×#1296	C₂	semidirect
160. C₄⋊C₈	#41	semidirect
267. D₄	#331	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36179	2
D₄×C₄⋊C₈	2
#9898	2
#9133	2
#8723	2
#8585	2
C₄×#331	2
C₂×#1296	2