Subgroups — #223177

Order 512.

1003 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 327 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22795	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9134	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8038	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#555	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
11	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2856	C₂²	1	2	yes	—
13	#2563	C₄	1	2	yes	—
14	#2537	—	2	2	no	—
15	#2500	C₄	1	4	yes	—
16	#2491	—	2	4	no	—
17	#2354	—	2	2	no	—
18	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2285	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1954	—	2	2	no	—
22	#1923	—	2	4	no	—
23	#1842	C₂²	1	2	yes	—
24	#1797	C₂²	1	4	yes	—
25	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
29	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	2	yes	—
31	#1296	C₂²	1	4	yes	—
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	4	yes	—
34	#555	—	4	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#124	—	2	4	no	—
39	C₂×#121	—	2	2	no	—
40	C₂×#121	—	2	4	no	—
41	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
49	#431	—	2	8	no	—
50	#431	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
60	#394	—	2	8	no	—
61	#393	—	2	4	no	—
62	#390	—	2	2	no	—
63	#390	—	2	4	no	—
64	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#388	—	2	8	no	—
67	#384	—	2	2	no	—
68	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#384	C₂³	1	2	yes	—
71	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#380	—	2	4	no	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
79	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	2	2	no	—
82	#331	—	2	4	no	—
83	#331	—	4	2	no	—
84	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
96	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
98	#127	—	2	2	no	—
99	#127	—	2	1	no	—
100	#127	—	2	1	no	—
101	#124	—	4	16	no	—
102	#121	—	4	8	no	—
103	#121	—	4	8	no	—
104	#121	—	8	4	no	—
105	#121	—	8	4	no	—
106	C₄×D₄	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	4	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₄×D₄	—	4	4	no	—
112	#117	—	4	8	no	—
113	#117	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
147	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
148	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
150	C₄×C₈	—	4	8	no	—
151	C₄×C₈	—	4	4	no	—
152	#95	—	2	8	no	—
153	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	2	2	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	2	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	—	8	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂×C₈	—	4	2	no	—
196	C₂×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	2	no	—
202	C₂×C₈	—	4	4	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
212	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	2	no	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	4	1	no	—
228	C₄²	—	4	8	no	—
229	C₄²	#135	1	4	yes	—
230	C₄²	#135	1	4	yes	—
231	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	—	4	4	no	—
244	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	16	4	no	—
246	D₄	—	4	4	no	—
247	D₄	—	8	2	no	—
248	D₄	—	8	2	no	—
249	D₄	—	8	2	no	—
250	D₄	—	8	2	no	—
251	D₄	—	8	2	no	—
252	D₄	—	8	2	no	—
253	D₄	—	16	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	8	8	no	—
276	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
288	C₈	—	4	4	no	—
289	C₈	—	8	2	no	—
290	C₈	—	8	4	no	—
291	C₂²	—	4	2	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	4	no	—
296	C₂²	—	8	2	no	—
297	C₂²	—	8	4	no	—
298	C₂²	—	8	2	no	—
299	C₂²	—	8	2	no	—
300	C₂²	—	8	4	no	—
301	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
305	C₂²	#2897	1	2	yes	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	2	1	no	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	4	1	no	—
311	C₄	—	4	4	no	—
312	C₄	—	8	2	no	—
313	C₄	—	8	4	no	—
314	C₄	#1543	1	4	yes	—
315	C₄	#3303	1	2	yes	—
316	C₄	#3305	1	2	yes	—
317	C₄	#3340	1	2	yes	—
318	C₄	#3341	1	2	yes	—
319	C₂	—	8	2	no	—
320	C₂	—	16	2	no	—
321	C₂	C₂×#1543	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#17727	1	2	yes	—
323	C₂	#17782	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#22479	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#22489	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36187	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22795	C₂	semidirect
3. #9896	C₂	semidirect
4. #9134	C₂	semidirect
5. #8728	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. C₄×#331	C₂	semidirect
8. #8038	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36187	2
#22795	2
#9896	2
#9134	2
#8728	2
#8585	2
C₄×#331	2
#8038	2