Subgroups — #223279

Order 512.

1043 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 331 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22650	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9141	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8041	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#555	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#436	—	2	2	no	—
11	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
12	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2856	C₂²	1	2	yes	—
14	#2563	C₄	1	2	yes	—
15	#2537	—	2	2	no	—
16	#2500	C₄	1	4	yes	—
17	#2491	—	2	4	no	—
18	#2354	—	2	2	no	—
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1939	—	2	2	no	—
23	#1851	—	2	4	no	—
24	#1842	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
29	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	2	yes	—
31	#1296	C₂²	1	4	yes	—
32	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	#555	—	4	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#124	—	2	4	no	—
40	C₂×#121	—	2	2	no	—
41	C₂×#121	—	2	4	no	—
42	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	#436	—	4	8	no	—
51	#423	—	2	8	no	—
52	#423	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
61	#394	—	2	8	no	—
62	#393	—	2	4	no	—
63	#390	—	2	2	no	—
64	#390	—	2	4	no	—
65	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#388	—	2	8	no	—
68	#384	—	2	2	no	—
69	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#384	C₂³	1	2	yes	—
72	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	#380	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
80	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#336	—	2	4	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#331	—	2	4	no	—
84	#331	—	4	2	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
95	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
102	#127	—	2	2	no	—
103	#127	—	2	1	no	—
104	#127	—	2	1	no	—
105	#124	—	4	16	no	—
106	#121	—	4	8	no	—
107	#121	—	4	8	no	—
108	#121	—	8	4	no	—
109	#121	—	8	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	4	no	—
111	C₄×D₄	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	4	4	no	—
114	C₄×D₄	—	4	4	no	—
115	C₄×D₄	—	4	4	no	—
116	#117	—	4	8	no	—
117	#117	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
152	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
154	C₄×C₈	—	4	4	no	—
155	#95	—	2	8	no	—
156	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
157	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	8	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	8	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	M₁₆	—	8	16	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	2	no	—
201	C₂×C₈	—	4	4	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
216	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	2	no	—
226	C₄²	—	2	4	no	—
227	C₄²	—	2	4	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	4	1	no	—
232	C₄²	—	4	8	no	—
233	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
234	C₄²	#137	1	4	yes	—
235	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	2	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	4	no	—
247	C₂³	—	4	4	no	—
248	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	Q₈	—	16	4	no	—
250	D₄	—	4	4	no	—
251	D₄	—	8	2	no	—
252	D₄	—	8	2	no	—
253	D₄	—	8	2	no	—
254	D₄	—	8	2	no	—
255	D₄	—	8	2	no	—
256	D₄	—	8	2	no	—
257	D₄	—	16	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
292	C₈	—	4	4	no	—
293	C₈	—	8	2	no	—
294	C₈	—	8	4	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	4	no	—
300	C₂²	—	8	2	no	—
301	C₂²	—	8	4	no	—
302	C₂²	—	8	2	no	—
303	C₂²	—	8	2	no	—
304	C₂²	—	8	4	no	—
305	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
309	C₂²	#2897	1	2	yes	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	8	2	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	#1560	1	4	yes	—
319	C₄	#3325	1	2	yes	—
320	C₄	#3329	1	2	yes	—
321	C₄	#3354	1	2	yes	—
322	C₄	#3357	1	2	yes	—
323	C₂	—	8	2	no	—
324	C₂	—	16	2	no	—
325	C₂	C₂×#1560	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#17765	1	2	yes	—
327	C₂	#17782	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#22479	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#22503	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36187	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22650	C₂	semidirect
3. #9896	C₂	semidirect
4. #9141	C₂	semidirect
5. #8728	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. C₄×#331	C₂	semidirect
8. #8041	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36187	2
#22650	2
#9896	2
#9141	2
#8728	2
#8585	2
C₄×#331	2
#8041	2