Subgroups — #22329

Order 256.

459 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1954	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#390	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#389	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#388	C₄	1	2	yes	—
28	#386	C₄	1	2	yes	—
29	#380	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	#336	C₂²	1	2	yes	—
33	#336	C₂²	1	2	yes	—
34	#336	C₂²	1	2	yes	—
35	#336	C₂²	1	2	yes	—
36	#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
45	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
46	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	#121	C₈	1	8	yes	complemented
51	C₄×D₄	—	4	2	no	—
52	C₄×D₄	—	4	2	no	—
53	C₄×D₄	—	4	1	no	—
54	C₄×D₄	—	4	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
65	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
72	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
75	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
76	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
77	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
78	C₄×C₈	—	4	1	no	—
79	C₄×C₈	—	4	1	no	—
80	C₄×C₈	—	4	2	no	—
81	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₄	—	4	1	no	—
87	C₂×D₄	—	4	2	no	—
88	C₂×D₄	—	4	1	no	—
89	C₂×D₄	—	4	2	no	—
90	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
91	C₂×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
92	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
105	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
107	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂×C₈	—	4	8	no	—
129	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
130	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
131	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
132	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
133	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
134	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
139	C₄²	—	2	1	no	—
140	C₄²	—	2	1	no	—
141	C₄²	—	2	2	no	—
142	C₄²	—	2	2	no	—
143	C₄²	—	2	1	no	—
144	C₄²	—	2	1	no	—
145	C₄²	—	4	1	no	—
146	C₄²	—	4	1	no	—
147	C₂³	—	2	1	no	—
148	C₂³	—	2	2	no	—
149	C₂³	—	2	1	no	—
150	C₂³	—	2	2	no	—
151	C₂³	—	2	2	no	—
152	C₂³	—	2	1	no	—
153	C₂³	—	2	2	no	—
154	C₂³	—	2	1	no	—
155	C₂³	—	2	1	no	—
156	C₂³	—	2	1	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
160	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
161	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
162	D₄	—	4	4	no	—
163	D₄	—	4	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
200	C₈	—	2	4	no	—
201	C₈	—	4	2	no	—
202	C₈	—	4	2	no	—
203	C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²	—	2	4	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	2	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	—	2	4	no	—
209	C₂²	—	2	4	no	—
210	C₂²	—	4	2	no	—
211	C₂²	—	4	1	no	—
212	C₂²	—	4	1	no	—
213	C₂²	—	4	2	no	—
214	C₂²	—	4	1	no	—
215	C₂²	—	4	2	no	—
216	C₂²	—	4	1	no	—
217	C₂²	—	4	2	no	—
218	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
220	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
223	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
224	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
225	C₄	—	2	2	no	—
226	C₄	—	2	2	no	—
227	C₄	—	2	4	no	—
228	C₄	—	2	2	no	—
229	C₄	—	4	1	no	—
230	C₄	—	4	2	no	—
231	C₄	—	4	1	no	—
232	C₄	—	4	2	no	—
233	C₄	#538	1	2	yes	—
234	C₄	#540	1	2	yes	—
235	C₂	—	4	2	no	—
236	C₂	—	4	4	no	—
237	C₂	#2333	1	1	yes	characteristic
238	C₂	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂	#2967	1	1	yes	characteristic
240	C₂	#2972	1	1	yes	characteristic
241	C₂	#2972	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#2976	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#2981	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#121	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #1954	C₂	semidirect
3. #1923	C₂	semidirect
4. #1916	C₂	semidirect
5. #1869	C₂	semidirect
6. #1869	C₂	semidirect
7. #1817	C₂	semidirect
8. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
50. #121	C₈	semidirect
91. C₂×D₄	C₂×C₈	semidirect
107. C₂²×C₄	C₂×C₈	semidirect
133. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
138. C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#121	2
#1954	2
#1923	2
#1916	2
#1869	2
#1817	2
C₈×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₈	2