Subgroups — #22402

Order 256.

770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1954	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1780	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#532	—	2	4	no	—
16	#532	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#124	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#121	C₄	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#436	—	2	4	no	—
28	C₈×D₄	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#408	—	2	8	no	—
32	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×#41	—	2	4	no	—
48	C₂×#41	—	2	4	no	—
49	C₂×#41	—	2	4	no	—
50	C₂×#41	—	4	2	no	—
51	C₂×#41	—	4	2	no	—
52	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	#127	—	2	4	no	—
78	#124	—	2	8	no	—
79	#121	—	2	4	no	—
80	#121	—	2	4	no	—
81	#121	—	2	8	no	—
82	C₄×D₄	—	2	4	no	—
83	C₄×D₄	—	2	4	no	—
84	C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
87	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
110	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	complemented
112	C₄×C₈	—	2	2	no	—
113	C₄×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	#41	—	4	8	no	—
118	#41	—	4	8	no	—
119	#41	—	4	8	no	—
120	#41	—	4	8	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	4	2	no	—
138	C₂×D₄	—	4	2	no	—
139	C₂×D₄	—	4	2	no	—
140	C₂×D₄	—	4	2	no	—
141	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	M₁₆	—	4	8	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂×C₈	—	2	1	no	—
187	C₂×C₈	—	2	1	no	—
188	C₂×C₈	—	2	1	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	4	8	no	—
192	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	2	1	no	—
204	C₄²	—	2	1	no	—
205	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂³	—	2	1	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	1	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	1	no	—
213	C₂³	—	2	1	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	1	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
227	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	4	8	no	—
230	D₄	—	2	8	no	—
231	D₄	—	4	8	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	4	8	no	—
234	D₄	—	4	8	no	—
235	D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
277	C₈	—	2	2	no	—
278	C₈	—	2	2	no	—
279	C₈	—	4	2	no	—
280	C₈	—	4	2	no	—
281	C₈	—	4	1	no	—
282	C₈	—	4	1	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	2	2	no	—
289	C₂²	—	4	1	no	—
290	C₂²	—	4	1	no	—
291	C₂²	—	4	2	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	1	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	2	2	no	—
313	C₄	—	2	2	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	4	1	no	—
317	C₄	#408	1	4	yes	complemented
318	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
319	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
322	C₂	—	4	2	no	—
323	C₂	—	4	4	no	—
324	C₂	—	8	2	no	—
325	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#2931	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#2935	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#2979	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#2981	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
4. C₂×#408	C₂	semidirect
5. #1954	C₂	semidirect
6. #1954	C₂	semidirect
7. #1870	C₂	semidirect
8. #1869	C₂	semidirect
9. #1797	C₂	semidirect
10. #1780	C₂	semidirect
11. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
111. C₂²⋊C₈	D₄	semidirect
317. C₄	#408	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂×#436	2
C₂×C₈×D₄	2
C₂×#408	2
#1954	2
#1870	2
#1869	2
#1797	2
#1780	2
C₄×C₂²⋊C₈	2