Subgroups — #22406

Order 256.

737 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#410	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2344	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1964	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1899	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1782	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#99	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	#547	—	2	2	no	—
11	#547	—	2	4	no	—
12	#547	—	2	2	no	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#123	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#410	—	2	8	no	—
25	C₂×#99	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#99	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#99	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#99	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#99	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#389	—	2	2	no	—
31	#387	—	2	4	no	—
32	#381	C₂²	1	4	yes	—
33	#380	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#342	C₂²	1	2	yes	—
37	#342	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#41	—	2	4	no	—
39	C₂×#41	—	2	4	no	—
40	C₂×#41	—	2	4	no	—
41	C₂×#41	—	2	4	no	—
42	C₂×#41	—	4	4	no	—
43	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	#123	—	2	4	no	—
56	#123	—	2	4	no	—
57	#123	—	2	4	no	—
58	#123	—	2	4	no	—
59	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
61	#121	—	2	2	no	—
62	#121	—	2	2	no	—
63	#121	—	2	2	no	—
64	#121	—	2	2	no	—
65	C₄×D₄	—	2	2	no	—
66	C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₄×D₄	—	2	1	no	—
69	C₄×D₄	—	2	1	no	—
70	#117	—	2	8	no	—
71	#117	—	4	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#99	—	2	4	no	—
99	#99	—	2	2	no	—
100	#99	—	2	8	no	—
101	#99	—	4	4	no	—
102	#99	D₄	1	4	yes	complemented
103	#95	—	2	2	no	—
104	#95	—	2	4	no	—
105	#95	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	4	no	—
107	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#41	—	4	8	no	—
111	#41	—	4	8	no	—
112	#41	—	4	8	no	—
113	#41	—	4	8	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
175	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₄²	—	2	1	no	—
189	C₄²	—	2	1	no	—
190	C₄²	—	4	8	no	—
191	C₄²	—	4	4	no	—
192	C₂³	—	2	1	no	—
193	C₂³	—	2	1	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	4	1	no	—
198	C₂³	—	4	1	no	—
199	C₂³	—	4	1	no	—
200	C₂³	—	4	1	no	—
201	C₂³	—	4	2	no	—
202	C₂³	—	4	2	no	—
203	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
206	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
209	Q₈	—	4	8	no	—
210	D₄	—	2	4	no	—
211	D₄	—	2	4	no	—
212	D₄	—	4	8	no	—
213	D₄	—	4	2	no	—
214	D₄	—	4	4	no	—
215	D₄	—	4	4	no	—
216	D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²	—	2	2	no	—
261	C₂²	—	2	1	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	1	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	4	1	no	—
266	C₂²	—	4	1	no	—
267	C₂²	—	4	2	no	—
268	C₂²	—	4	2	no	—
269	C₂²	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	4	1	no	—
271	C₂²	—	4	1	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	8	2	no	—
276	C₂²	—	8	2	no	—
277	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
281	C₂²	#546	1	2	yes	—
282	C₄	—	2	2	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	1	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	4	4	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	1	no	—
291	C₄	—	4	1	no	—
292	C₄	—	8	4	no	—
293	C₄	—	8	2	no	—
294	C₄	#410	1	2	yes	complemented
295	C₂	—	2	2	no	—
296	C₂	—	2	2	no	—
297	C₂	—	2	1	no	—
298	C₂	—	2	1	no	—
299	C₂	—	4	2	no	—
300	C₂	—	8	2	no	—
301	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#2884	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#410	C₂	semidirect
3. #2344	C₂	semidirect
4. #1964	C₂	semidirect
5. #1899	C₂	semidirect
6. #1799	C₂	semidirect
7. #1782	C₂	semidirect
8. C₄×#99	C₂	semidirect
13. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
14. C₂×#123	C₄	semidirect
16. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
17. C₂×#121	C₄	semidirect
19. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
22. C₂²×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
102. #99	D₄	semidirect
294. C₄	#410	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
C₂×#410	2
#2344	2
#1964	2
#1899	2
#1799	2
#1782	2
C₄×#99	2