Subgroups — #22410

Order 256.

702 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1967	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1901	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1900	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1785	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1784	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#548	—	2	2	no	—
17	#548	—	2	2	no	—
18	#548	—	2	2	no	—
19	#548	—	2	2	no	—
20	C₂×#124	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₄	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#436	—	2	2	no	—
30	#435	—	2	2	no	—
31	#435	—	2	2	no	—
32	C₈×D₄	—	2	2	no	—
33	#423	C₂²	1	2	yes	—
34	#413	—	2	4	no	—
35	C₂×#101	—	2	4	no	—
36	C₂×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
44	#407	C₂²	1	2	yes	—
45	#407	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
47	#343	C₂²	1	2	yes	—
48	#343	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	4	2	no	—
54	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
59	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
76	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
82	#124	—	2	4	no	—
83	#124	—	2	4	no	—
84	#124	—	2	2	no	—
85	#124	—	2	2	no	—
86	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
90	#121	—	2	4	no	—
91	#121	—	2	4	no	—
92	#121	—	2	2	no	—
93	#121	—	2	2	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₄×D₄	—	2	2	no	—
97	C₄×D₄	—	2	2	no	—
98	C₄×D₄	—	2	2	no	—
99	C₄×D₄	—	2	2	no	—
100	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
101	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
103	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
118	#101	—	2	2	no	—
119	#101	—	2	2	no	—
120	#101	—	2	2	no	—
121	#101	—	2	4	no	—
122	#101	—	4	2	no	—
123	#101	D₄	1	4	yes	complemented
124	#100	—	2	4	no	—
125	#100	—	4	2	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
130	#97	—	2	2	no	—
131	C₄×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	#41	—	4	4	no	—
136	#41	—	4	4	no	—
137	#41	—	4	4	no	—
138	#41	—	4	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
148	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
149	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
150	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
152	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×Q₈	#41	1	2	yes	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	2	1	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	M₁₆	—	2	2	no	—
194	M₁₆	—	2	2	no	—
195	M₁₆	—	2	2	no	—
196	M₁₆	—	2	2	no	—
197	M₁₆	—	2	2	no	—
198	M₁₆	—	2	2	no	—
199	M₁₆	—	2	2	no	—
200	M₁₆	—	4	4	no	—
201	M₁₆	—	4	4	no	—
202	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₄²	—	2	2	no	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₂³	—	2	1	no	—
231	C₂³	—	2	1	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	1	no	—
234	C₂³	—	2	1	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	4	1	no	—
239	C₂³	—	4	1	no	—
240	C₂³	—	4	1	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	2	4	no	—
248	Q₈	—	2	4	no	—
249	Q₈	—	4	8	no	—
250	Q₈	—	4	2	no	—
251	Q₈	—	4	2	no	—
252	D₄	—	2	4	no	—
253	D₄	—	4	2	no	—
254	D₄	—	4	8	no	—
255	D₄	—	4	4	no	—
256	D₄	—	4	4	no	—
257	D₄	—	4	2	no	—
258	D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	4	2	no	—
297	C₈	—	4	2	no	—
298	C₈	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	4	2	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	8	1	no	—
315	C₂²	—	8	1	no	—
316	C₂²	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	8	2	no	—
318	C₂²	#413	1	2	yes	complemented
319	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	1	no	—
328	C₄	—	2	1	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	D₄²	1	2	yes	—
332	C₄	#546	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	2	1	no	—
335	C₂	—	2	2	no	—
336	C₂	—	4	1	no	—
337	C₂	—	4	2	no	—
338	C₂	—	8	2	no	—
339	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#2889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#548	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×M₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#413	C₂	semidirect
4. C₂²×#101	C₂	semidirect
5. #1967	C₂	semidirect
6. #1901	C₂	semidirect
7. #1900	C₂	semidirect
8. #1801	C₂	semidirect
9. #1785	C₂	semidirect
10. #1784	C₂	semidirect
11. C₄×#101	C₂	semidirect
123. #101	D₄	semidirect
318. C₂²	#413	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#548	2
D₄×M₁₆	2
C₂×#413	2
C₂²×#101	2
#1967	2
#1901	2
#1900	2
#1801	2
#1785	2
#1784	2
C₄×#101	2