Subgroups — #22418

Order 256.

771 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#416	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1875	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1788	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#550	—	2	4	no	—
15	#550	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#127	—	2	1	no	—
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#121	—	2	2	no	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
24	C₈×D₄	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#416	—	2	8	no	—
27	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#390	—	2	1	no	—
37	#388	—	2	2	no	—
38	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#380	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#41	—	2	4	no	—
46	C₂×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×#41	—	2	4	no	—
48	C₂×#41	—	4	2	no	—
49	C₂×#41	—	4	2	no	—
50	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
63	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#127	—	2	8	no	—
67	#127	—	2	2	no	—
68	#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#121	—	2	4	no	—
70	#121	—	2	16	no	—
71	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₄×D₄	—	2	8	no	—
75	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
77	#117	—	2	4	no	—
78	#117	—	4	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	#103	—	2	4	no	—
97	#103	—	2	2	no	—
98	#103	D₄	1	4	yes	complemented
99	#102	—	2	4	no	—
100	#102	—	2	4	no	—
101	#102	—	4	2	no	—
102	#102	—	4	2	no	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
104	C₄×C₈	—	2	2	no	—
105	#95	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	C₂⁴	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	#41	—	2	16	no	—
110	#41	—	4	8	no	—
111	#41	—	4	8	no	—
112	#41	—	4	8	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×Q₈	#41	1	2	yes	—
119	C₂×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂×D₄	—	8	1	no	—
135	C₂×D₄	—	8	1	no	—
136	C₂×D₄	—	8	2	no	—
137	C₂×D₄	—	8	2	no	—
138	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂×C₈	—	4	8	no	—
167	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
176	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
177	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
183	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₄²	—	2	4	no	—
185	C₄²	—	4	4	no	—
186	C₄²	—	4	2	no	—
187	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	4	2	no	—
197	C₂³	—	4	2	no	—
198	C₂³	—	4	2	no	—
199	C₂³	—	4	2	no	—
200	C₂³	—	4	2	no	—
201	C₂³	—	4	2	no	—
202	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	Q₈	—	2	2	no	—
205	Q₈	—	2	2	no	—
206	Q₈	—	2	2	no	—
207	Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
208	D₄	—	2	4	no	—
209	D₄	—	2	4	no	—
210	D₄	—	2	8	no	—
211	D₄	—	4	16	no	—
212	D₄	—	4	2	no	—
213	D₄	—	4	2	no	—
214	D₄	—	4	8	no	—
215	D₄	—	8	4	no	—
216	D₄	—	8	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	16	no	—
231	C₂×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	#135	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₈	—	2	2	no	—
253	C₈	—	4	2	no	—
254	C₈	—	4	1	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	2	4	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	2	no	—
262	C₂²	—	4	4	no	—
263	C₂²	—	4	4	no	—
264	C₂²	—	4	4	no	—
265	C₂²	—	8	2	no	—
266	C₂²	—	8	2	no	—
267	C₂²	—	8	2	no	—
268	C₂²	—	8	2	no	—
269	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	2	2	no	—
279	C₄	—	4	2	no	—
280	C₄	—	4	2	no	—
281	C₄	—	8	2	no	—
282	C₄	—	8	1	no	—
283	C₄	#416	1	4	yes	complemented
284	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
286	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
287	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
288	C₂	—	4	4	no	—
289	C₂	—	8	4	no	—
290	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#3284	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#3287	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#3304	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#3305	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#550	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
3. C₂×#416	C₂	semidirect
4. #2354	C₂	semidirect
5. #1982	C₂	semidirect
6. #1957	C₂	semidirect
7. #1893	C₂	semidirect
8. #1875	C₂	semidirect
9. #1803	C₂	semidirect
10. #1788	C₂	semidirect
11. C₄×#103	C₂	semidirect
15. #550	C₄	semidirect
98. #103	D₄	semidirect
283. C₄	#416	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#550	2
C₂×C₈×D₄	2
C₂×#416	2
#2354	2
#1982	2
#1957	2
#1893	2
#1875	2
#1803	2
#1788	2
C₄×#103	2