Subgroups — #224206

Order 512.

931 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9901	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#9896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8592	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₄×#331	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#554	C₄	1	2	yes	—
10	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2859	C₂²	1	2	yes	—
12	#2566	C₄	1	4	yes	—
13	#2563	C₄	1	2	yes	—
14	#2538	—	2	2	no	—
15	#2452	—	2	4	no	—
16	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1984	—	2	2	no	—
21	#1916	—	2	4	no	—
22	#1842	C₂²	1	2	yes	—
23	#1831	C₂²	1	4	yes	—
24	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1296	C₂²	1	4	yes	—
31	#1296	C₂²	1	2	yes	—
32	#1296	C₂²	1	2	yes	—
33	#1296	C₂²	1	4	yes	—
34	#554	—	4	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
55	#396	—	2	8	no	—
56	#393	—	2	4	no	—
57	#390	—	2	2	no	—
58	#390	—	2	4	no	—
59	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#389	—	2	4	no	—
62	#389	—	2	4	no	—
63	#385	—	2	8	no	—
64	#384	—	2	2	no	—
65	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#384	C₂³	1	2	yes	—
68	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#380	—	2	4	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
74	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#336	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	#336	—	2	2	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#331	—	2	4	no	—
81	#331	—	2	2	no	—
82	#331	Q₈	1	4	yes	complemented
83	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
95	#127	—	2	2	no	—
96	#127	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	#127	#41	1	2	yes	—
98	#125	—	4	8	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₄×D₄	—	4	8	no	—
105	C₄×D₄	—	4	4	no	—
106	C₄×D₄	—	4	4	no	—
107	C₄×D₄	—	4	4	no	—
108	C₄×D₄	—	8	4	no	—
109	C₄×D₄	—	8	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
138	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
143	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
144	C₄×C₈	—	4	4	no	—
145	C₄×C₈	—	8	4	no	—
146	#95	—	2	8	no	—
147	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂⁴	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	4	2	no	—
158	C₂×D₄	—	4	2	no	—
159	C₂×D₄	—	4	2	no	—
160	C₂×D₄	—	4	2	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	—	4	2	no	—
180	C₂×C₈	—	4	2	no	—
181	C₂×C₈	—	4	2	no	—
182	C₂×C₈	—	4	4	no	—
183	C₂×C₈	—	4	2	no	—
184	C₂×C₈	—	4	4	no	—
185	C₂×C₈	—	4	4	no	—
186	C₂×C₈	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
200	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
205	C₄²	—	2	4	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	—	2	4	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	4	1	no	—
214	C₄²	—	4	2	no	—
215	C₄²	#135	1	4	yes	—
216	C₄²	#135	1	4	yes	—
217	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	4	2	no	—
222	C₂³	—	4	2	no	—
223	C₂³	—	4	4	no	—
224	C₂³	—	4	4	no	—
225	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	Q₈	—	4	4	no	—
227	Q₈	—	16	4	no	—
228	D₄	—	4	4	no	—
229	D₄	—	4	4	no	—
230	D₄	—	4	4	no	—
231	D₄	—	4	4	no	—
232	D₄	—	4	4	no	—
233	D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂×C₄	—	8	8	no	—
251	C₂×C₄	—	16	8	no	—
252	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
264	C₈	—	4	4	no	—
265	C₈	—	8	2	no	—
266	C₈	—	8	4	no	—
267	C₂²	—	4	4	no	—
268	C₂²	—	4	8	no	—
269	C₂²	—	8	2	no	—
270	C₂²	—	8	4	no	—
271	C₂²	—	8	2	no	—
272	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
276	C₂²	#2897	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	4	no	—
278	C₄	—	2	4	no	—
279	C₄	—	2	1	no	—
280	C₄	—	2	1	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	4	no	—
283	C₄	—	4	1	no	—
284	C₄	—	8	2	no	—
285	C₄	—	8	4	no	—
286	C₄	#1543	1	4	yes	—
287	C₄	#3360	1	2	yes	—
288	C₄	#3361	1	2	yes	—
289	C₄	#3380	1	2	yes	—
290	C₄	#3381	1	2	yes	—
291	C₂	—	8	4	no	—
292	C₂	C₂×#1543	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#17727	1	2	yes	—
294	C₂	#17770	1	1	yes	characteristic
295	C₂	Q₈×#100	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#22519	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22821	C₂	semidirect
3. #9901	C₂	semidirect
4. #9896	C₂	semidirect
82. #331	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36559	2
#22821	2
#9901	2
#9896	2
#8592	2
#8585	2
C₄×#331	2