Subgroups — #224217

Order 512.

871 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22722	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9904	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9900	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9898	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9898	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#8586	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8586	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8236	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#557	—	2	1	no	—
13	C₂×#446	—	2	1	no	—
14	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
15	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2859	C₂²	1	2	yes	—
17	#2568	—	2	1	no	—
18	#2565	—	2	2	no	—
19	#2546	—	2	1	no	—
20	#2546	C₄	1	2	yes	—
21	#2506	—	2	2	no	—
22	#2506	C₄	1	4	yes	—
23	#2365	—	2	1	no	—
24	#2365	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1940	—	2	2	no	—
29	#1939	—	2	1	no	—
30	#1939	—	2	2	no	—
31	#1939	—	2	1	no	—
32	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1842	C₂²	1	2	yes	—
35	#1842	C₂²	1	2	yes	—
36	#1767	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#332	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#332	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#332	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1296	C₂²	1	2	yes	—
47	#1296	C₂²	1	2	yes	—
48	#1296	C₂²	1	2	yes	—
49	#1296	C₂²	1	2	yes	—
50	#557	—	4	4	no	—
51	#557	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#125	—	2	4	no	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	#446	—	4	4	no	—
66	C₈×Q₈	—	4	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	#400	—	2	4	no	—
86	#398	—	2	4	no	—
87	#398	—	2	4	no	—
88	#391	—	2	2	no	—
89	#391	—	2	2	no	—
90	#391	—	2	1	no	—
91	#391	—	2	2	no	—
92	#389	—	2	1	no	—
93	#389	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
98	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#387	—	2	4	no	—
101	#387	—	2	4	no	—
102	#384	—	2	1	no	—
103	#384	—	2	1	no	—
104	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#384	C₂³	1	2	yes	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
114	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
115	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
118	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
119	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#336	—	2	2	no	—
121	#336	—	2	1	no	—
122	#336	—	2	2	no	—
123	#336	—	2	1	no	—
124	#332	—	2	2	no	—
125	#332	—	2	4	no	—
126	#332	Q₈	1	4	yes	complemented
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
144	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₄⋊Q₈	#41	1	2	yes	—
146	#125	—	4	16	no	—
147	#125	—	4	4	no	—
148	#125	—	4	4	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
157	C₄×Q₈	D₈	1	4	yes	—
158	C₄×Q₈	SD₁₆	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
210	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
211	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
212	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
213	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
215	#97	—	4	4	no	—
216	C₄×C₈	—	4	4	no	—
217	C₄×C₈	—	4	2	no	—
218	C₄×C₈	—	4	2	no	—
219	#95	—	2	2	no	—
220	#95	—	2	4	no	—
221	#95	—	2	2	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	4	no	—
224	#95	—	2	4	no	—
225	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	#102	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	#102	1	4	yes	—
297	C₄⋊C₄	#102	1	8	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	1	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	4	1	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	8	no	—
314	C₄²	—	4	4	no	—
315	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
317	C₄²	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
318	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
319	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
320	C₄²	#137	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	2	8	no	—
327	Q₈	—	4	2	no	—
328	Q₈	—	4	2	no	—
329	Q₈	—	4	2	no	—
330	Q₈	—	4	2	no	—
331	Q₈	—	8	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#102	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	4	2	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	8	1	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₈	—	8	2	no	—
386	C₈	—	8	1	no	—
387	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2898	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#2898	1	1	yes	characteristic
394	C₄	—	2	4	no	—
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	4	1	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	—	8	2	no	—
406	C₄	#1547	1	4	yes	—
407	C₄	#3358	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3359	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3368	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#3374	1	1	yes	characteristic
411	C₄	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
412	C₄	Q₈×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#3386	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#3387	1	1	yes	characteristic
415	C₂	C₂×#1547	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#17721	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#17763	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#17778	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#22517	1	1	yes	characteristic
420	C₂	Q₈×#102	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#22524	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
126. #332	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36560	2
#22722	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
#9904	2
#9900	2
#9898	2
#8586	2
#8236	2
C₄×#332	2