Subgroups — #224234

Order 512.

847 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22825	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9906	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9901	C₂	1	2	yes	maximal
6	#9898	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9898	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#8590	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#8235	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄×#333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#557	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
14	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2859	C₂²	1	2	yes	—
16	#2568	C₄	1	2	yes	—
17	#2565	C₄	1	4	yes	—
18	#2546	—	2	1	no	—
19	#2546	—	2	1	no	—
20	#2506	—	2	2	no	—
21	#2506	—	2	2	no	—
22	#2365	—	2	1	no	—
23	#2365	—	2	1	no	—
24	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1984	—	2	1	no	—
28	#1939	—	2	1	no	—
29	#1939	—	2	2	no	—
30	#1917	—	2	2	no	—
31	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1842	C₂²	1	2	yes	—
34	#1831	C₂²	1	2	yes	—
35	#1770	—	2	1	no	—
36	#1767	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1296	C₂²	1	2	yes	—
47	#1296	C₂²	1	2	yes	—
48	#1296	C₂²	1	2	yes	—
49	#1296	C₂²	1	2	yes	—
50	#557	—	4	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#125	—	2	4	no	—
57	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₈×Q₈	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#97	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
81	#400	—	2	4	no	—
82	#398	—	2	4	no	—
83	#398	—	2	4	no	—
84	#391	—	2	2	no	—
85	#391	—	2	2	no	—
86	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#389	—	2	1	no	—
89	#389	—	2	1	no	—
90	#389	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#389	—	2	2	no	—
93	#389	—	2	2	no	—
94	#389	—	2	2	no	—
95	#389	—	2	2	no	—
96	#387	—	2	4	no	—
97	#387	—	2	4	no	—
98	#384	—	2	1	no	—
99	#384	—	2	1	no	—
100	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#384	C₂³	1	2	yes	—
103	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
114	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#336	—	2	2	no	—
117	#336	—	2	2	no	—
118	#336	—	2	1	no	—
119	#336	—	2	2	no	—
120	#336	—	2	2	no	—
121	#336	—	2	1	no	—
122	#333	—	2	2	no	—
123	#333	—	2	4	no	—
124	#333	Q₈	1	4	yes	complemented
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
142	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₄⋊Q₈	#41	1	2	yes	—
144	#125	—	4	8	no	—
145	#125	—	4	16	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
201	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
204	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
205	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
206	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
208	#97	—	8	2	no	—
209	C₄×C₈	—	4	4	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	—	4	2	no	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	#95	—	2	2	no	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	#95	—	2	4	no	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	#95	—	2	4	no	—
218	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	#100	1	4	yes	—
230	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	1	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	4	1	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	4	8	no	—
307	C₄²	—	4	4	no	—
308	C₄²	#135	1	2	yes	—
309	C₄²	#135	1	2	yes	—
310	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
311	C₄²	#137	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	2	8	no	—
318	Q₈	—	4	4	no	—
319	Q₈	—	4	4	no	—
320	Q₈	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#416	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#417	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	—	8	1	no	—
373	C₈	—	8	2	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₈	—	8	1	no	—
376	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2898	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2898	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	2	2	no	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	1	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	8	4	no	—
394	C₄	—	8	2	no	—
395	C₄	#1551	1	4	yes	—
396	C₄	#3364	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#3365	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#3368	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#3374	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#3381	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#3383	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#3386	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#3387	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#1551	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#17725	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#17763	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#17773	1	1	yes	characteristic
408	C₂	Q₈×#100	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#22521	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#22524	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
124. #333	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36560	2
#22825	2
Q₈×C₄⋊C₈	2
#9906	2
#9901	2
#9898	2
#8590	2
#8587	2
#8235	2
C₄×#333	2