Subgroups — #224256

Order 512.

1159 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22823	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9903	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8588	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8234	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8231	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×D₄×Q₈	—	2	2	no	—
11	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
12	#2868	C₂²	1	2	yes	—
13	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2542	—	2	2	no	—
15	#2542	—	2	2	no	—
16	#2542	—	2	2	no	—
17	#2542	C₄	1	2	yes	—
18	#2542	C₄	1	4	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1985	—	2	2	no	—
23	#1917	—	2	2	no	—
24	#1916	—	2	2	no	—
25	#1842	C₂²	1	2	yes	—
26	#1831	C₂²	1	2	yes	—
27	#1831	C₂²	1	2	yes	—
28	#1771	—	2	2	no	—
29	#1767	C₂²	1	2	yes	—
30	#1767	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1296	C₂²	1	2	yes	—
36	#1296	C₂²	1	2	yes	—
37	#1296	C₂²	1	2	yes	—
38	#1296	C₂²	1	2	yes	—
39	#1296	C₂²	1	2	yes	—
40	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
43	D₄×Q₈	—	4	8	no	—
44	D₄×Q₈	—	4	8	no	—
45	D₄×Q₈	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×#97	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	#399	—	2	2	no	—
74	#399	—	2	4	no	—
75	#399	—	2	4	no	—
76	#399	—	2	2	no	—
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#384	—	2	2	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	2	no	—
85	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#331	—	2	2	no	—
104	#331	—	2	4	no	—
105	#331	Q₈	1	4	yes	complemented
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
127	#127	—	2	2	no	—
128	#127	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	#127	#41	1	2	yes	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	C₄×D₄	—	4	4	no	—
141	C₄×D₄	—	4	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₄×D₄	—	4	8	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
186	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
187	#97	—	4	4	no	—
188	#97	—	8	2	no	—
189	C₄×C₈	—	8	2	no	—
190	#95	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	#95	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	1	no	—
278	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
279	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
280	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	2	8	no	—
290	Q₈	—	8	8	no	—
291	Q₈	—	8	16	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	16	no	—
322	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
334	C₈	—	4	4	no	—
335	C₈	—	8	2	no	—
336	C₈	—	8	2	no	—
337	C₈	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
347	C₂²	#2898	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	1	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	1	no	—
357	C₄	—	8	2	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	#3367	1	2	yes	—
360	C₄	#3373	1	2	yes	—
361	C₄	#3384	1	2	yes	—
362	C₄	#3386	1	2	yes	—
363	C₂	—	8	4	no	—
364	C₂	#17741	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#17759	1	2	yes	—
366	C₂	#17779	1	1	yes	characteristic
367	C₂	Q₈×#100	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#22523	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22823	C₂	semidirect
3. #9905	C₂	semidirect
4. #9903	C₂	semidirect
5. #9896	C₂	semidirect
105. #331	Q₈	semidirect
186. C₄⋊C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#127	2
#22823	2
#9905	2
#9903	2
#9896	2
#8592	2
#8588	2
#8234	2
#8231	2