Subgroups — #22428

Order 256.

955 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#418	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1875	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
15	D₄²	—	2	4	no	—
16	D₄²	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#121	—	2	1	no	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#120	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#436	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	#418	—	2	8	no	—
27	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#390	—	2	1	no	—
37	#388	—	2	2	no	—
38	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	C₂⁵	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
55	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
57	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
58	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#127	—	2	2	no	—
71	#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#121	—	2	4	no	—
73	#121	—	2	8	no	—
74	#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#120	—	2	16	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
80	#117	—	2	4	no	—
81	#117	—	4	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
98	#102	—	2	4	no	—
99	#102	—	2	2	no	—
100	#102	—	2	4	no	—
101	#102	—	2	4	no	—
102	#102	—	4	2	no	—
103	#102	—	4	2	no	—
104	#102	D₄	1	4	yes	complemented
105	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
106	C₄×C₈	—	2	2	no	—
107	#95	—	2	2	no	—
108	#95	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	—	2	1	no	—
110	C₂⁴	—	2	2	no	—
111	C₂⁴	—	2	8	no	—
112	C₂⁴	—	4	4	no	—
113	C₂⁴	—	4	4	no	—
114	C₂⁴	—	4	4	no	—
115	C₂⁴	—	4	4	no	—
116	C₂⁴	—	8	2	no	—
117	C₂⁴	—	8	2	no	—
118	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×D₄	—	2	16	no	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	1	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂×D₄	—	2	1	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	4	8	no	—
135	C₂×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂×D₄	—	4	4	no	—
138	C₂×D₄	—	4	4	no	—
139	C₂×D₄	—	4	32	no	—
140	C₂×D₄	—	4	4	no	—
141	C₂×D₄	—	4	4	no	—
142	C₂×D₄	—	4	2	no	—
143	C₂×D₄	—	4	2	no	—
144	C₂×D₄	—	8	1	no	—
145	C₂×D₄	—	8	1	no	—
146	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	M₁₆	—	4	8	no	—
169	C₂×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂×C₈	—	2	1	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
178	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
186	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
189	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
194	C₄²	—	4	4	no	—
195	C₄²	—	4	2	no	—
196	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
197	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	4	16	no	—
209	C₂³	—	4	16	no	—
210	C₂³	—	4	1	no	—
211	C₂³	—	4	1	no	—
212	C₂³	—	4	1	no	—
213	C₂³	—	4	1	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	2	no	—
216	C₂³	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	—	8	8	no	—
221	C₂³	—	8	8	no	—
222	C₂³	—	8	8	no	—
223	C₂³	—	8	8	no	—
224	C₂³	—	8	8	no	—
225	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	D₄	—	2	4	no	—
228	D₄	—	2	2	no	—
229	D₄	—	2	4	no	—
230	D₄	—	2	2	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	2	8	no	—
233	D₄	—	4	16	no	—
234	D₄	—	4	16	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	4	2	no	—
237	D₄	—	4	8	no	—
238	D₄	—	8	4	no	—
239	D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₈	—	2	2	no	—
273	C₈	—	4	2	no	—
274	C₈	—	4	1	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	2	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	8	32	no	—
293	C₂²	—	8	2	no	—
294	C₂²	—	8	2	no	—
295	C₂²	—	8	2	no	—
296	C₂²	—	8	2	no	—
297	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	8	2	no	—
309	C₄	—	8	1	no	—
310	C₄	#418	1	4	yes	complemented
311	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
313	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
315	C₂	—	4	4	no	—
316	C₂	—	4	4	no	—
317	C₂	—	8	4	no	—
318	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#3272	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#3274	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#3324	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#3325	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×D₄²	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. C₂×#418	C₂	semidirect
4. #2354	C₂	semidirect
5. #1982	C₂	semidirect
6. #1957	C₂	semidirect
7. #1895	C₂	semidirect
8. #1875	C₂	semidirect
9. #1802	C₂	semidirect
10. #1786	C₂	semidirect
11. C₄×#102	C₂	semidirect
14. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
16. D₄²	C₄	semidirect
23. C₂×#117	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
30. C₂×#102	C₂²	semidirect
31. C₂×#102	C₂²	semidirect
32. C₂×#102	C₂²	semidirect
33. C₂×#102	C₂²	semidirect
34. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
35. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
38. #384	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
41. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
42. #340	C₂²	semidirect
43. #340	C₂²	semidirect
44. #340	C₂²	semidirect
104. #102	D₄	semidirect
177. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect
188. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
310. C₄	#418	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄²	2
C₂×#436	2
C₂×#418	2
#2354	2
#1982	2
#1957	2
#1895	2
#1875	2
#1802	2
#1786	2
C₄×#102	2