Subgroups — #22430

Order 256.

713 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 278 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#419	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1981	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1787	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
15	D₄×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
24	#436	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#419	—	2	8	no	—
27	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#390	—	2	1	no	—
37	#388	—	2	2	no	—
38	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#380	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
50	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
51	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
60	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
68	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₄×D₄	—	2	8	no	—
72	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
74	#117	—	2	4	no	—
75	#117	—	4	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	#103	—	2	4	no	—
97	#103	—	2	2	no	—
98	#103	—	2	4	no	—
99	#103	—	2	4	no	—
100	#103	—	4	2	no	—
101	#103	—	4	2	no	—
102	#103	D₄	1	4	yes	complemented
103	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
104	C₄×C₈	—	2	2	no	—
105	#95	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
110	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
119	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
120	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
121	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
122	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
123	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×Q₈	#41	1	2	yes	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	M₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
171	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
177	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
178	C₄²	—	2	4	no	—
179	C₄²	—	4	4	no	—
180	C₄²	—	4	2	no	—
181	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	2	no	—
187	C₂³	—	2	2	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	2	2	no	—
192	Q₈	—	2	2	no	—
193	Q₈	—	2	2	no	—
194	Q₈	—	2	4	no	—
195	Q₈	—	2	4	no	—
196	Q₈	—	4	16	no	—
197	Q₈	—	4	2	no	—
198	Q₈	—	4	2	no	—
199	Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
200	D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	2	2	no	—
240	C₈	—	4	2	no	—
241	C₈	—	4	1	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	2	4	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
256	C₄	—	2	4	no	—
257	C₄	—	2	4	no	—
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	—	4	2	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	8	1	no	—
263	C₄	—	8	2	no	—
264	C₄	#419	1	4	yes	complemented
265	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
267	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
268	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
269	C₂	—	4	4	no	—
270	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#3276	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#3278	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#3328	1	1	yes	characteristic
276	C₂	#3329	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#419	C₂	semidirect
5. #1981	C₂	semidirect
6. #1956	C₂	semidirect
7. #1894	C₂	semidirect
8. #1873	C₂	semidirect
9. #1803	C₂	semidirect
10. #1787	C₂	semidirect
11. C₄×#103	C₂	semidirect
15. D₄×Q₈	C₄	semidirect
102. #103	D₄	semidirect
264. C₄	#419	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×#436	2
C₂×#419	2
#2354	2
#1981	2
#1956	2
#1894	2
#1873	2
#1803	2
#1787	2
C₄×#103	2