Subgroups — #22431

Order 256.

765 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 296 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1981	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1872	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1788	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#547	—	2	4	no	—
15	#547	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#123	—	2	2	no	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#121	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#436	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#417	—	2	8	no	—
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#389	—	2	1	no	—
38	#385	—	2	2	no	—
39	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#380	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#41	—	2	4	no	—
46	C₂×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×#41	—	2	4	no	—
48	C₂×#41	—	4	2	no	—
49	C₂×#41	—	4	2	no	—
50	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
56	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
62	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	#123	—	2	16	no	—
68	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	#121	—	2	8	no	—
71	C₄×D₄	—	2	2	no	—
72	C₄×D₄	—	4	4	no	—
73	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	#103	—	2	4	no	—
98	#103	—	2	4	no	—
99	#103	—	4	2	no	—
100	#103	—	4	2	no	—
101	#102	—	2	4	no	—
102	#102	—	2	2	no	—
103	#102	D₄	1	4	yes	complemented
104	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
105	C₄×C₈	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	#95	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	#41	—	2	16	no	—
111	#41	—	4	8	no	—
112	#41	—	4	8	no	—
113	#41	—	4	8	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	1	no	—
124	C₂×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂×D₄	—	4	4	no	—
127	C₂×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
150	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	M₁₆	—	4	8	no	—
157	C₂×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
178	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
185	C₄²	—	4	2	no	—
186	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	4	1	no	—
198	C₂³	—	4	1	no	—
199	C₂³	—	4	1	no	—
200	C₂³	—	4	1	no	—
201	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	Q₈	—	2	4	no	—
204	Q₈	—	2	4	no	—
205	Q₈	—	4	2	no	—
206	Q₈	—	4	2	no	—
207	D₄	—	2	2	no	—
208	D₄	—	2	2	no	—
209	D₄	—	2	2	no	—
210	D₄	—	2	8	no	—
211	D₄	—	4	16	no	—
212	D₄	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	16	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂×C₄	—	8	8	no	—
239	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₈	—	2	2	no	—
251	C₈	—	4	2	no	—
252	C₈	—	4	1	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	2	no	—
261	C₂²	—	4	2	no	—
262	C₂²	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	4	2	no	—
264	C₂²	—	4	2	no	—
265	C₂²	—	4	2	no	—
266	C₂²	—	4	2	no	—
267	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	#578	1	1	yes	characteristic
274	C₄	—	2	4	no	—
275	C₄	—	2	2	no	—
276	C₄	—	4	4	no	—
277	C₄	—	4	2	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	—	8	1	no	—
280	C₄	—	8	2	no	—
281	C₄	#417	1	4	yes	complemented
282	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
284	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
286	C₂	—	4	4	no	—
287	C₂	—	4	4	no	—
288	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#2898	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#3272	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#3276	1	1	yes	characteristic
293	C₂	#3330	1	1	yes	characteristic
294	C₂	#3331	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#547	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #1981	C₂	semidirect
6. #1956	C₂	semidirect
7. #1894	C₂	semidirect
8. #1872	C₂	semidirect
9. #1802	C₂	semidirect
10. #1788	C₂	semidirect
11. C₄×#102	C₂	semidirect
15. #547	C₄	semidirect
50. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
66. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
69. C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
74. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
103. #102	D₄	semidirect
212. D₄	C₄×D₄	semidirect
281. C₄	#417	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
C₂×#436	2
C₂×#417	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#1981	2
#1956	2
#1894	2
#1872	2
#1802	2
#1788	2
C₄×#102	2