Subgroups — #22432

Order 256.

791 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1982	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1874	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1788	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#550	—	2	4	no	—
15	#550	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#127	—	2	1	no	—
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#121	—	2	2	no	—
19	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#436	—	2	4	no	—
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#417	—	2	8	no	—
28	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#389	—	2	1	no	—
38	#385	—	2	2	no	—
39	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#380	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#340	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#41	—	2	4	no	—
46	C₂×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×#41	—	2	4	no	—
48	C₂×#41	—	4	2	no	—
49	C₂×#41	—	4	2	no	—
50	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
64	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#127	—	2	8	no	—
68	#127	—	2	2	no	—
69	#127	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	#121	—	2	4	no	—
71	#121	—	2	16	no	—
72	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₄×D₄	—	2	8	no	—
76	C₄×D₄	—	4	4	no	—
77	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	#103	—	2	4	no	—
98	#103	—	2	2	no	—
99	#103	D₄	1	4	yes	complemented
100	#102	—	2	4	no	—
101	#102	—	2	4	no	—
102	#102	—	4	2	no	—
103	#102	—	4	2	no	—
104	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
105	C₄×C₈	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	1	no	—
107	#95	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	#41	—	2	16	no	—
111	#41	—	4	8	no	—
112	#41	—	4	8	no	—
113	#41	—	4	8	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
117	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×Q₈	#41	1	2	yes	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	4	4	no	—
132	C₂×D₄	—	4	4	no	—
133	C₂×D₄	—	4	2	no	—
134	C₂×D₄	—	4	2	no	—
135	C₂×D₄	—	8	1	no	—
136	C₂×D₄	—	8	1	no	—
137	C₂×D₄	—	8	2	no	—
138	C₂×D₄	—	8	2	no	—
139	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
156	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	M₁₆	—	4	8	no	—
163	C₂×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂×C₈	—	2	1	no	—
169	C₂×C₈	—	2	1	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
182	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
188	C₄²	—	2	4	no	—
189	C₄²	—	4	2	no	—
190	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂³	—	2	2	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	4	2	no	—
200	C₂³	—	4	2	no	—
201	C₂³	—	4	2	no	—
202	C₂³	—	4	2	no	—
203	C₂³	—	4	2	no	—
204	C₂³	—	4	2	no	—
205	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	Q₈	—	2	2	no	—
208	Q₈	—	2	2	no	—
209	Q₈	—	2	2	no	—
210	Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
211	D₄	—	2	4	no	—
212	D₄	—	2	4	no	—
213	D₄	—	2	8	no	—
214	D₄	—	4	16	no	—
215	D₄	—	4	2	no	—
216	D₄	—	4	2	no	—
217	D₄	—	4	8	no	—
218	D₄	—	8	4	no	—
219	D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	1	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	#137	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₈	—	2	2	no	—
257	C₈	—	4	2	no	—
258	C₈	—	4	1	no	—
259	C₂²	—	2	4	no	—
260	C₂²	—	2	4	no	—
261	C₂²	—	2	4	no	—
262	C₂²	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	4	2	no	—
264	C₂²	—	4	2	no	—
265	C₂²	—	4	2	no	—
266	C₂²	—	4	4	no	—
267	C₂²	—	4	4	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	8	2	no	—
270	C₂²	—	8	2	no	—
271	C₂²	—	8	2	no	—
272	C₂²	—	8	2	no	—
273	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	#576	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
280	C₄	—	2	4	no	—
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	2	2	no	—
283	C₄	—	4	2	no	—
284	C₄	—	4	2	no	—
285	C₄	—	8	1	no	—
286	C₄	—	8	2	no	—
287	C₄	#417	1	4	yes	complemented
288	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
290	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
292	C₂	—	4	4	no	—
293	C₂	—	8	4	no	—
294	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂×#417	1	1	yes	characteristic
296	C₂	#2897	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#3274	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#3278	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#3332	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#3333	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#550	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #1982	C₂	semidirect
6. #1957	C₂	semidirect
7. #1895	C₂	semidirect
8. #1874	C₂	semidirect
9. #1803	C₂	semidirect
10. #1788	C₂	semidirect
11. C₄×#103	C₂	semidirect
15. #550	C₄	semidirect
50. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
69. #127	C₂×C₄	semidirect
72. #121	C₂×C₄	semidirect
74. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
99. #103	D₄	semidirect
210. Q₈	C₄×D₄	semidirect
287. C₄	#417	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#550	2
C₂×#436	2
C₂×#417	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#1982	2
#1957	2
#1895	2
#1874	2
#1803	2
#1788	2
C₄×#103	2