Subgroups — #22435

Order 256.

736 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1980	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1871	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1789	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
14	#550	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	D₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#548	C₄	1	2	yes	complemented
17	#547	—	2	1	no	—
18	#547	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#546	—	2	2	no	—
20	#546	C₄	1	2	yes	complemented
21	D₄²	—	2	1	no	—
22	D₄²	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#532	—	2	1	no	—
24	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#525	—	2	2	no	—
26	#525	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#436	—	2	1	no	—
32	#435	—	2	2	no	—
33	C₈×D₄	—	2	1	no	—
34	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#421	—	2	8	no	—
36	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#407	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#390	—	2	1	no	—
46	#389	—	2	1	no	—
47	#388	—	2	2	no	—
48	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	C₂×#41	—	2	2	no	—
55	C₂×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#41	—	2	4	no	—
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	—	4	2	no	—
59	C₂×#41	—	4	2	no	—
60	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
74	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
79	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#127	—	2	1	no	—
81	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#124	—	2	2	no	—
83	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#123	—	2	2	no	—
85	#123	—	2	2	no	—
86	#123	—	2	2	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#121	—	2	2	no	—
92	#121	—	2	1	no	—
93	#121	—	2	1	no	—
94	#121	—	2	1	no	—
95	#121	—	2	1	no	—
96	#121	—	2	2	no	—
97	#121	—	2	2	no	—
98	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#120	—	2	2	no	—
101	#120	—	2	2	no	—
102	#120	—	2	2	no	—
103	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄×D₄	—	2	1	no	—
106	C₄×D₄	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	1	no	—
108	C₄×D₄	—	2	1	no	—
109	C₄×D₄	—	2	2	no	—
110	C₄×D₄	—	2	1	no	—
111	C₄×D₄	—	2	2	no	—
112	C₄×D₄	—	2	1	no	—
113	C₄×D₄	—	2	1	no	—
114	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
121	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
122	#117	—	2	1	no	—
123	#117	—	2	4	no	—
124	#117	—	4	2	no	—
125	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
143	#104	—	2	4	no	—
144	#104	—	2	2	no	—
145	#104	—	2	4	no	—
146	#104	—	2	4	no	—
147	#104	—	4	2	no	—
148	#104	—	4	2	no	—
149	#104	D₄	1	4	yes	complemented
150	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
152	#97	—	2	1	no	—
153	C₄×C₈	—	2	1	no	—
154	#95	—	2	2	no	—
155	#95	—	2	1	no	—
156	C₂⁴	—	2	2	no	—
157	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	#41	—	2	1	no	—
159	#41	—	2	1	no	—
160	#41	—	2	4	no	—
161	#41	—	2	4	no	—
162	#41	—	2	2	no	—
163	#41	—	2	2	no	—
164	#41	—	2	2	no	—
165	#41	—	2	2	no	—
166	#41	—	4	4	no	—
167	#41	—	4	4	no	—
168	#41	—	4	2	no	—
169	#41	—	4	2	no	—
170	#41	—	4	4	no	—
171	#41	—	4	4	no	—
172	#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	#41	#41	1	2	yes	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₄	—	2	1	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	1	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
198	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	M₁₆	—	2	1	no	—
224	M₁₆	—	2	2	no	—
225	M₁₆	—	2	1	no	—
226	M₁₆	—	2	1	no	—
227	M₁₆	—	2	2	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
259	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
260	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₄²	—	2	1	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	2	1	no	—
290	Q₈	—	2	2	no	—
291	Q₈	—	2	2	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
294	D₄	—	2	2	no	—
295	D₄	—	2	2	no	—
296	D₄	—	2	2	no	—
297	D₄	—	2	1	no	—
298	D₄	—	2	2	no	—
299	D₄	—	2	2	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	4	4	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	4	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	D₄	—	4	2	no	—
309	D₄	—	8	1	no	—
310	D₄	—	8	2	no	—
311	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	1	no	—
346	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	2	2	no	—
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	4	1	no	—
371	C₂²	—	4	1	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	8	2	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	8	no	—
378	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	2	2	no	—
383	C₄	—	2	2	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	1	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	—	4	1	no	—
392	C₄	—	8	2	no	—
393	C₄	#421	1	2	yes	complemented
394	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
396	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	4	2	no	—
401	C₂	—	4	2	no	—
402	C₂	—	4	2	no	—
403	C₂	—	8	2	no	—
404	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	D₄×#41	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×M₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. #2293	C₂	semidirect
5. #1980	C₂	semidirect
6. #1962	C₂	semidirect
7. #1897	C₂	semidirect
8. #1871	C₂	semidirect
9. #1806	C₂	semidirect
10. #1789	C₂	semidirect
11. C₄×#104	C₂	semidirect
13. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
14. #550	C₄	semidirect
15. D₄×Q₈	C₄	semidirect
16. #548	C₄	semidirect
18. #547	C₄	semidirect
20. #546	C₄	semidirect
22. D₄²	C₄	semidirect
30. C₂×#117	C₂²	semidirect
34. #423	C₂²	semidirect
39. C₂×#104	C₂²	semidirect
40. C₂×#104	C₂²	semidirect
41. C₂×#104	C₂²	semidirect
42. C₂×#104	C₂²	semidirect
43. #407	C₂²	semidirect
44. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
48. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
49. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
50. C₄³	C₂²	semidirect
51. #339	C₂²	semidirect
52. #339	C₂²	semidirect
53. #339	C₂²	semidirect
149. #104	D₄	semidirect
229. M₁₆	C₂×D₄	semidirect
276. C₄²	C₂×D₄	semidirect
393. C₄	#421	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×#41	2
D₄×M₁₆	2
C₂×#421	2
#2293	2
#1980	2
#1962	2
#1897	2
#1871	2
#1806	2
#1789	2
C₄×#104	2