Subgroups — #224454

Order 512.

705 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 257 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₈×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21345	C₂	1	2	yes	maximal
3	#9894	C₂	1	4	yes	maximal
4	#9891	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8584	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8225	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2859	C₂²	1	2	yes	—
11	#2552	C₄	1	4	yes	—
12	#2552	C₄	1	2	yes	—
13	#2507	—	2	4	no	—
14	#2507	—	2	2	no	—
15	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	Q₈×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1984	—	2	2	no	—
21	#1939	—	2	2	no	—
22	#1917	—	2	4	no	—
23	#1767	C₂²	1	2	yes	—
24	#1767	C₂²	1	4	yes	—
25	#1745	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#330	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#330	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#330	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1295	C₂²	1	2	yes	—
31	#1295	C₂²	1	4	yes	—
32	#1295	C₂²	1	2	yes	—
33	#1295	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×#97	—	2	2	no	—
43	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
47	#398	—	2	4	no	—
48	#398	—	2	4	no	—
49	#398	—	2	4	no	—
50	#389	—	2	2	no	—
51	#389	—	2	4	no	—
52	#389	—	2	4	no	—
53	#389	—	2	2	no	—
54	#389	—	2	2	no	—
55	#389	—	2	4	no	—
56	#389	—	2	2	no	—
57	#389	—	2	4	no	—
58	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#389	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#387	—	2	2	no	—
61	#387	—	2	4	no	—
62	#384	—	2	2	no	—
63	#384	—	2	4	no	—
64	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#382	C₂³	1	2	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
76	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
78	#336	—	2	2	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	#330	—	2	2	no	—
83	#330	—	2	4	no	—
84	#330	Q₈	1	4	yes	complemented
85	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
89	#125	—	2	2	no	—
90	#125	—	8	2	no	—
91	#125	—	8	4	no	—
92	#125	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	#125	#41	1	2	yes	—
94	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
96	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
126	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
127	#97	—	2	2	no	—
128	#97	—	2	4	no	—
129	#97	—	2	2	no	—
130	#97	—	2	2	no	—
131	#97	—	2	4	no	—
132	#97	—	4	4	no	—
133	#97	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₄×C₈	—	4	4	no	—
135	#95	—	2	2	no	—
136	#95	—	2	4	no	—
137	#95	—	2	2	no	—
138	#95	—	2	4	no	—
139	#95	—	2	2	no	—
140	#95	—	2	4	no	—
141	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₈	#101	1	4	yes	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂×C₈	—	4	2	no	—
159	C₂×C₈	—	4	2	no	—
160	C₂×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂×C₈	—	4	4	no	—
163	C₂×C₈	—	4	4	no	—
164	C₂×C₈	—	4	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
179	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
180	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
183	C₄⋊C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
184	C₄²	—	2	4	no	—
185	C₄²	—	2	2	no	—
186	C₄²	—	2	4	no	—
187	C₄²	—	4	2	no	—
188	C₄²	—	4	4	no	—
189	C₄²	—	4	1	no	—
190	C₄²	—	4	2	no	—
191	C₄²	—	4	4	no	—
192	C₄²	—	4	8	no	—
193	C₄²	—	4	4	no	—
194	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
195	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
197	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	Q₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	C₂×#101	1	4	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×#101	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
230	C₈	—	4	4	no	—
231	C₈	—	4	4	no	—
232	C₈	—	8	4	no	—
233	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²	C₂²×#101	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
237	C₂²	#2901	1	2	yes	—
238	C₄	—	2	2	no	—
239	C₄	—	2	2	no	—
240	C₄	—	2	1	no	—
241	C₄	—	2	1	no	—
242	C₄	—	2	4	no	—
243	C₄	—	4	4	no	—
244	C₄	—	4	2	no	—
245	C₄	—	4	4	no	—
246	C₄	—	4	1	no	—
247	C₄	—	4	2	no	—
248	C₄	—	8	4	no	—
249	C₄	—	8	2	no	—
250	C₄	#1534	1	4	yes	—
251	C₂	C₂×#1534	1	1	yes	characteristic
252	C₂	#17684	1	2	yes	—
253	C₂	#17692	1	1	yes	characteristic
254	C₂	Q₈×#101	1	1	yes	characteristic
255	C₂	#22529	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
84. #330	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₈×#125	2
#21345	2
#9894	2
#9891	2
#8584	2
#8580	2
#8225	2
C₄×#330	2