Subgroups — #224489

Order 512.

1828 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9649	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#8557	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₄×#323	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₈×Q₈	—	2	2	no	—
10	#2341	—	2	2	no	—
11	#2341	—	2	6	no	—
12	C₂×#390	C₄	1	3	yes	—
13	C₂×#390	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×#380	C₄	1	3	yes	—
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
16	#1984	—	2	6	no	—
17	#1797	C₂²	1	6	yes	—
18	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#323	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#323	C₂²	1	6	yes	—
21	#1280	C₂²	1	3	yes	—
22	#1280	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#41	—	2	3	no	—
24	C₂²×#41	—	2	1	no	—
25	C₂²×#41	—	2	4	no	—
26	C₂²×#41	—	4	4	no	—
27	C₂²×#41	—	4	4	no	—
28	C₂²×#41	C₈	1	8	yes	complemented
29	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
33	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	6	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
45	C₈×Q₈	—	4	8	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
47	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
50	#390	—	2	6	no	—
51	#390	—	2	6	no	—
52	#390	—	2	6	no	—
53	#390	—	2	6	no	—
54	#380	—	2	6	no	—
55	#380	—	2	6	no	—
56	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
57	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
58	C₂×#95	C₂×C₄	1	3	yes	—
59	C₂×#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#336	—	2	6	no	—
61	#336	—	2	6	no	—
62	#323	—	2	12	no	—
63	#323	—	4	6	no	—
64	C₂⁵	C₂²×C₄	1	3	yes	—
65	C₂×#41	—	2	24	no	—
66	C₂×#41	—	2	8	no	—
67	C₂×#41	—	4	32	no	—
68	C₂×#41	—	4	32	no	—
69	C₂×#41	—	4	12	no	—
70	C₂×#41	—	4	12	no	—
71	C₂×#41	—	4	4	no	—
72	C₂×#41	—	4	4	no	—
73	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
76	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
78	C₂²×Q₈	M₁₆	1	4	yes	—
79	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
84	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	12	yes	—
85	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
90	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	12	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
99	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
100	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
101	C₄×Q₈	—	4	12	no	—
102	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	3	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	6	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
120	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
121	C₂×C₄²	—	4	6	no	—
122	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
124	C₄⋊C₈	—	4	12	no	—
125	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
128	C₂²⋊C₈	#41	1	4	yes	complemented
129	C₄×C₈	—	4	12	no	—
130	#95	—	2	6	no	—
131	#95	—	2	2	no	—
132	C₂⁴	—	2	3	no	—
133	C₂⁴	—	2	3	no	—
134	C₂⁴	—	2	3	no	—
135	C₂⁴	—	2	3	no	—
136	C₂⁴	—	2	3	no	—
137	C₂⁴	—	2	3	no	—
138	C₂⁴	—	4	3	no	—
139	C₂⁴	—	4	3	no	—
140	C₂⁴	—	4	3	no	—
141	C₂⁴	—	4	3	no	—
142	C₂⁴	C₂²×C₈	1	6	yes	—
143	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	#41	—	4	96	no	—
145	#41	—	4	32	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
150	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	12	yes	—
151	C₂×Q₈	C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
152	C₂×Q₈	#99	1	4	yes	—
153	C₂×Q₈	#100	1	4	yes	—
154	C₂×D₄	—	2	12	no	—
155	C₂×D₄	—	2	12	no	—
156	C₂×D₄	—	4	6	no	—
157	C₂×D₄	—	4	6	no	—
158	C₂×D₄	—	4	24	no	—
159	C₂×D₄	—	4	24	no	—
160	C₂×D₄	—	4	6	no	—
161	C₂×D₄	—	4	6	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	6	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	6	yes	—
197	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	6	no	—
206	C₂×C₈	—	4	6	no	—
207	C₂×C₈	—	4	6	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
216	C₄²	—	2	12	no	—
217	C₄²	—	4	6	no	—
218	C₄²	—	4	6	no	—
219	C₄²	—	4	6	no	—
220	C₂³	—	2	1	no	—
221	C₂³	—	2	1	no	—
222	C₂³	—	2	1	no	—
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	6	no	—
225	C₂³	—	2	6	no	—
226	C₂³	—	2	6	no	—
227	C₂³	—	4	6	no	—
228	C₂³	—	4	6	no	—
229	C₂³	—	4	6	no	—
230	C₂³	—	4	6	no	—
231	C₂³	—	4	3	no	—
232	C₂³	—	4	3	no	—
233	C₂³	—	4	3	no	—
234	C₂³	—	4	3	no	—
235	C₂³	—	4	3	no	—
236	C₂³	—	4	3	no	—
237	C₂³	—	4	3	no	—
238	C₂³	—	4	3	no	—
239	C₂³	—	8	3	no	—
240	C₂³	—	8	3	no	—
241	C₂³	—	8	3	no	—
242	C₂³	—	8	3	no	—
243	C₂³	—	8	3	no	—
244	C₂³	—	8	3	no	—
245	C₂³	—	8	3	no	—
246	C₂³	—	8	3	no	—
247	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	#568	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	2	24	no	—
255	Q₈	#323	1	16	yes	complemented
256	D₄	—	4	24	no	—
257	D₄	—	4	24	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	3	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	3	no	—
262	C₂×C₄	—	2	12	no	—
263	C₂×C₄	—	2	12	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	6	no	—
267	C₂×C₄	—	2	6	no	—
268	C₂×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	24	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	24	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	3	no	—
283	C₂×C₄	—	4	3	no	—
284	C₂×C₄	—	4	3	no	—
285	C₂×C₄	—	8	3	no	—
286	C₂×C₄	—	8	3	no	—
287	C₂×C₄	—	8	3	no	—
288	C₂×C₄	—	8	3	no	—
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	6	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	6	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#99	1	6	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#100	1	6	yes	—
293	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
295	C₈	—	4	4	no	—
296	C₈	—	8	6	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	2	1	no	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	4	6	no	—
310	C₂²	—	4	6	no	—
311	C₂²	—	4	6	no	—
312	C₂²	—	8	6	no	—
313	C₂²	—	8	6	no	—
314	C₂²	—	8	6	no	—
315	C₂²	—	8	6	no	—
316	C₂²	—	8	3	no	—
317	C₂²	—	8	3	no	—
318	C₂²	—	8	3	no	—
319	C₂²	—	8	3	no	—
320	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2880	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂²×#99	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#2884	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2971	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2991	1	1	yes	characteristic
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	6	no	—
334	C₄	—	4	6	no	—
335	C₄	—	4	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	8	3	no	—
338	C₄	C₂×#323	1	12	yes	—
339	C₂	—	2	1	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	2	1	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	8	6	no	—
344	C₂	C₂²×#323	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#17353	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#17419	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#17425	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#22530	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#22534	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#22536	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×#41	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
3. #9649	C₂	semidirect
4. #8557	C₂	semidirect
5. C₄×#323	C₂	semidirect
28. C₂²×#41	C₈	semidirect
128. C₂²⋊C₈	#41	semidirect
255. Q₈	#323	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2341	2
Q₈×C₂²⋊C₈	2
#9649	2
#8557	2
C₄×#323	2