Subgroups — #22449

Order 256.

739 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 278 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1968	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1878	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1788	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1788	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#135	—	2	8	no	—
15	C₂×#135	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
24	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	#391	C₂²	1	2	yes	—
32	#390	—	2	2	no	—
33	#390	C₂²	1	2	yes	—
34	#386	—	2	2	no	—
35	#381	—	2	1	no	—
36	#380	—	2	1	no	—
37	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#95	—	2	1	no	—
42	#340	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×#41	—	2	4	no	—
48	C₂×#41	—	4	2	no	—
49	C₂×#41	—	4	2	no	—
50	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#135	—	2	32	no	—
63	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×SD₁₆	D₄	1	8	yes	—
69	C₂×D₈	—	2	4	no	—
70	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
73	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
77	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
78	C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₄×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
91	#106	—	2	4	no	—
92	#103	—	2	4	no	—
93	#103	—	4	2	no	—
94	#102	—	2	4	no	—
95	#102	—	4	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₄×C₈	—	2	4	no	—
98	#95	—	2	1	no	—
99	#95	—	2	2	no	—
100	#95	—	2	1	no	—
101	#95	—	2	2	no	—
102	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
103	#95	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂⁴	—	2	1	no	—
105	C₂⁴	—	2	1	no	—
106	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	#41	—	2	8	no	—
108	#41	—	2	8	no	—
109	#41	—	4	4	no	—
110	#41	—	4	4	no	—
111	#41	—	4	8	no	—
112	#41	—	4	8	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂×D₄	—	2	1	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
146	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	Q₁₆	—	2	8	no	—
153	SD₁₆	—	2	8	no	—
154	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
155	D₈	—	2	8	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	8	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	8	1	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	8	1	no	—
175	C₄²	—	2	2	no	—
176	C₄²	—	2	2	no	—
177	C₄²	—	4	4	no	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	1	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	4	2	no	—
186	C₂³	—	4	1	no	—
187	C₂³	—	4	1	no	—
188	C₂³	—	4	2	no	—
189	C₂³	—	4	2	no	—
190	C₂³	—	4	1	no	—
191	C₂³	—	4	1	no	—
192	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
193	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	Q₈	—	2	2	no	—
195	Q₈	—	2	4	no	—
196	Q₈	—	2	2	no	—
197	Q₈	—	2	2	no	—
198	Q₈	—	4	2	no	—
199	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	D₄	—	2	2	no	—
201	D₄	—	2	2	no	—
202	D₄	—	2	2	no	—
203	D₄	—	2	4	no	—
204	D₄	—	4	8	no	—
205	D₄	—	4	8	no	—
206	D₄	—	4	2	no	—
207	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	8	8	no	—
230	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	#135	1	4	yes	complemented
232	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₈	—	2	2	no	—
237	C₈	—	4	2	no	—
238	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	4	2	no	—
244	C₂²	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	4	4	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	—	4	4	no	—
249	C₂²	—	4	2	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	—	4	2	no	—
252	C₂²	—	8	2	no	—
253	C₂²	—	8	2	no	—
254	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
256	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
257	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	#577	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	2	no	—
260	C₄	—	2	4	no	—
261	C₄	—	2	4	no	—
262	C₄	—	4	2	no	—
263	C₄	—	4	2	no	—
264	C₄	—	8	2	no	—
265	C₄	—	8	2	no	—
266	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
268	C₄	#546	1	2	yes	—
269	C₂	—	4	2	no	—
270	C₂	—	4	4	no	—
271	C₂	—	8	2	no	—
272	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#2952	1	1	yes	characteristic
275	C₂	#3282	1	2	yes	—
276	C₂	#3284	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×SD₁₆	C₂	semidirect
3. #2341	C₂	semidirect
4. #2339	C₂	semidirect
5. #1968	C₂	semidirect
6. #1879	C₂	semidirect
7. #1878	C₂	semidirect
8. #1807	C₂	semidirect
9. #1788	C₂	semidirect
10. #1788	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
15. C₂×#135	C₄	semidirect
51. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
72. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect
154. SD₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
231. C₂×C₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2341	2
#2339	2
#1968	2
#1879	2
#1878	2
#1807	2
#1788	2
C₈×C₂²⋊C₄	2