Subgroups — #22452

Order 256.

684 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 256 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2880	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1876	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1789	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#135	—	2	8	no	—
11	C₂×#135	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#135	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂×#135	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂²×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#444	—	2	8	no	—
23	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#104	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#408	—	2	4	no	—
27	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#407	—	2	2	no	—
29	#407	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
31	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#341	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#41	—	2	2	no	—
37	C₂×#41	—	2	2	no	—
38	C₂×#41	—	2	8	no	—
39	C₂×#41	—	4	4	no	—
40	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#135	—	2	8	no	—
50	#135	—	2	4	no	—
51	#135	—	2	8	no	—
52	#135	—	2	4	no	—
53	#135	—	2	4	no	—
54	#135	D₄	1	8	yes	—
55	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
60	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×D₈	—	2	4	no	—
65	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	#131	—	2	8	no	—
69	#131	—	4	4	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
71	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
83	#108	—	2	4	no	—
84	#104	—	2	8	no	—
85	#104	—	4	4	no	—
86	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
91	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
92	#97	—	2	4	no	—
93	#95	—	2	1	no	—
94	C₂⁴	—	2	2	no	—
95	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
96	#41	—	2	4	no	—
97	#41	—	2	4	no	—
98	#41	—	2	4	no	—
99	#41	—	2	4	no	—
100	#41	—	2	4	no	—
101	#41	—	4	8	no	—
102	#41	—	4	2	no	—
103	#41	—	4	2	no	—
104	#41	—	4	8	no	—
105	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
109	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	4	2	no	—
118	C₂×D₄	—	4	8	no	—
119	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	Q₁₆	—	2	4	no	—
137	Q₁₆	—	2	2	no	—
138	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
139	SD₁₆	—	2	4	no	—
140	SD₁₆	—	2	4	no	—
141	SD₁₆	—	2	4	no	—
142	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
143	D₈	—	2	4	no	—
144	D₈	—	2	2	no	—
145	D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
146	M₁₆	—	2	4	no	—
147	M₁₆	—	2	4	no	—
148	M₁₆	—	4	8	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂×C₈	—	4	8	no	—
158	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂³	—	2	2	no	—
168	C₂³	—	2	2	no	—
169	C₂³	—	2	2	no	—
170	C₂³	—	2	2	no	—
171	C₂³	—	4	1	no	—
172	C₂³	—	4	4	no	—
173	C₂³	—	4	4	no	—
174	C₂³	—	8	2	no	—
175	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
178	Q₈	—	2	2	no	—
179	Q₈	—	2	2	no	—
180	Q₈	—	2	2	no	—
181	Q₈	—	4	4	no	—
182	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	D₄	—	2	8	no	—
184	D₄	—	2	2	no	—
185	D₄	—	2	2	no	—
186	D₄	—	2	2	no	—
187	D₄	—	4	4	no	—
188	D₄	—	4	4	no	—
189	D₄	—	4	4	no	—
190	D₄	—	4	4	no	—
191	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
215	C₈	—	2	1	no	—
216	C₈	—	2	1	no	—
217	C₈	—	2	4	no	—
218	C₈	—	4	4	no	—
219	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²	—	2	1	no	—
222	C₂²	—	2	1	no	—
223	C₂²	—	2	1	no	—
224	C₂²	—	2	1	no	—
225	C₂²	—	2	1	no	—
226	C₂²	—	2	4	no	—
227	C₂²	—	2	1	no	—
228	C₂²	—	2	1	no	—
229	C₂²	—	4	4	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	2	no	—
233	C₂²	—	4	2	no	—
234	C₂²	—	4	2	no	—
235	C₂²	—	8	8	no	—
236	C₂²	#444	1	2	yes	complemented
237	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	#546	1	2	yes	—
239	C₄	—	2	1	no	—
240	C₄	—	2	1	no	—
241	C₄	—	2	4	no	—
242	C₄	—	4	2	no	—
243	C₄	—	8	2	no	—
244	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
246	C₄	D₄²	1	2	yes	—
247	C₂	—	2	2	no	—
248	C₂	—	2	2	no	—
249	C₂	—	4	1	no	—
250	C₂	—	4	4	no	—
251	C₂	—	8	2	no	—
252	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#2957	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. #2880	C₂	semidirect
4. #1975	C₂	semidirect
5. #1876	C₂	semidirect
6. #1810	C₂	semidirect
7. #1789	C₂	semidirect
8. #1752	C₂	semidirect
11. C₂×#135	C₄	semidirect
12. C₂×#135	C₄	semidirect
13. C₂×#135	C₄	semidirect
17. C₂²×Q₁₆	C₄	semidirect
18. C₂²×SD₁₆	C₄	semidirect
19. C₂²×D₈	C₄	semidirect
20. C₂×#131	C₂²	semidirect
23. C₂×#108	C₂²	semidirect
24. C₂×#104	C₂²	semidirect
25. C₂×#104	C₂²	semidirect
27. #408	C₂²	semidirect
32. C₂×#97	C₂²	semidirect
34. #341	C₂²	semidirect
35. #336	C₂²	semidirect
138. Q₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
142. SD₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
145. D₈	C₂²⋊C₄	semidirect
236. C₂²	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂×#444	2
#2880	2
#1975	2
#1876	2
#1810	2
#1789	2
#1752	2