Subgroups — #22453

Order 256.

681 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2880	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1789	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	#575	—	2	4	no	—
14	#575	—	2	4	no	—
15	C₂×#137	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#137	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#444	—	2	4	no	—
26	#443	—	2	4	no	—
27	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#408	—	2	2	no	—
34	#408	—	2	2	no	—
35	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#407	—	2	2	no	—
38	#407	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#341	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	4	no	—
50	C₂×#41	—	2	4	no	—
51	C₂×#41	—	4	2	no	—
52	C₂×#41	—	4	2	no	—
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#137	—	2	8	no	—
63	#137	—	2	8	no	—
64	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
65	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
66	#135	—	2	4	no	—
67	#135	—	2	4	no	—
68	#135	—	2	2	no	—
69	#135	—	2	2	no	—
70	#135	D₄	1	4	yes	—
71	#135	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#131	—	2	4	no	—
83	#131	—	2	4	no	—
84	#131	—	4	2	no	—
85	#131	—	4	2	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
90	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#108	—	2	2	no	—
104	#108	—	2	2	no	—
105	#104	—	2	4	no	—
106	#104	—	2	4	no	—
107	#104	—	4	2	no	—
108	#104	—	4	2	no	—
109	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
116	C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
117	#97	—	2	2	no	—
118	C₄×C₈	—	2	2	no	—
119	#95	—	2	1	no	—
120	C₂⁴	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
122	#41	—	2	2	no	—
123	#41	—	2	2	no	—
124	#41	—	2	4	no	—
125	#41	—	2	4	no	—
126	#41	—	2	2	no	—
127	#41	—	2	2	no	—
128	#41	—	2	2	no	—
129	#41	—	2	2	no	—
130	#41	—	4	4	no	—
131	#41	—	4	4	no	—
132	#41	—	4	2	no	—
133	#41	—	4	2	no	—
134	#41	—	4	4	no	—
135	#41	—	4	4	no	—
136	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
141	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	4	2	no	—
150	C₂×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	Q₁₆	—	2	4	no	—
172	Q₁₆	—	2	2	no	—
173	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
174	SD₁₆	—	2	4	no	—
175	SD₁₆	—	2	4	no	—
176	SD₁₆	—	2	4	no	—
177	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
178	D₈	—	2	4	no	—
179	D₈	—	2	2	no	—
180	D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
181	M₁₆	—	2	4	no	—
182	M₁₆	—	2	4	no	—
183	M₁₆	—	2	2	no	—
184	M₁₆	—	2	2	no	—
185	M₁₆	—	2	2	no	—
186	M₁₆	—	2	2	no	—
187	M₁₆	—	4	4	no	—
188	M₁₆	—	4	4	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₈	—	2	1	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	4	no	—
199	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₄²	—	2	1	no	—
209	C₄²	—	2	1	no	—
210	C₄²	—	2	1	no	—
211	C₄²	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	1	no	—
214	C₂³	—	2	1	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	4	1	no	—
217	C₂³	—	4	1	no	—
218	C₂³	—	4	4	no	—
219	C₂³	—	4	4	no	—
220	C₂³	—	8	2	no	—
221	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	Q₈	—	2	2	no	—
224	Q₈	—	2	2	no	—
225	Q₈	—	2	2	no	—
226	Q₈	—	4	4	no	—
227	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
228	D₄	—	2	4	no	—
229	D₄	—	2	4	no	—
230	D₄	—	2	2	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	2	2	no	—
233	D₄	—	4	4	no	—
234	D₄	—	4	4	no	—
235	D₄	—	4	4	no	—
236	D₄	—	4	2	no	—
237	D₄	—	4	2	no	—
238	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
267	C₈	—	2	2	no	—
268	C₈	—	2	1	no	—
269	C₈	—	2	2	no	—
270	C₈	—	2	1	no	—
271	C₈	—	4	2	no	—
272	C₈	—	4	2	no	—
273	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂²	—	2	1	no	—
276	C₂²	—	2	1	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	4	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	8	1	no	—
287	C₂²	—	8	1	no	—
288	C₂²	—	8	8	no	—
289	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	2	4	no	—
294	C₄	—	4	2	no	—
295	C₄	—	4	2	no	—
296	C₄	—	8	1	no	—
297	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
299	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
300	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
301	C₂	—	2	1	no	—
302	C₂	—	2	1	no	—
303	C₂	—	4	2	no	—
304	C₂	—	4	4	no	—
305	C₂	—	8	2	no	—
306	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#2956	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#575	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. C₂×#443	C₂	semidirect
4. #2880	C₂	semidirect
5. #1975	C₂	semidirect
6. #1974	C₂	semidirect
7. #1876	C₂	semidirect
8. #1876	C₂	semidirect
9. #1811	C₂	semidirect
10. #1789	C₂	semidirect
11. #1753	C₂	semidirect
15. C₂×#137	C₄	semidirect
16. C₂×#137	C₄	semidirect
17. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
18. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
22. C₂×#131	C₂²	semidirect
23. C₂×#131	C₂²	semidirect
27. C₂×#108	C₂²	semidirect
28. C₂×#108	C₂²	semidirect
29. C₂×#104	C₂²	semidirect
30. C₂×#104	C₂²	semidirect
31. C₂×#104	C₂²	semidirect
32. C₂×#104	C₂²	semidirect
35. #408	C₂²	semidirect
36. #408	C₂²	semidirect
41. C₂×#97	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
44. #341	C₂²	semidirect
45. #336	C₂²	semidirect
46. #336	C₂²	semidirect
173. Q₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
177. SD₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
180. D₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
C₂×#444	2
C₂×#443	2
#2880	2
#1975	2
#1974	2
#1876	2
#1811	2
#1789	2
#1753	2