Subgroups — #22456

Order 256.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#577	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2884	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2883	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1904	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1795	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#577	—	2	4	no	—
15	#577	—	2	4	no	—
16	C₂×#137	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#135	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#518	C₂²	1	2	yes	—
27	#440	—	2	4	no	—
28	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
29	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#421	C₂²	1	2	yes	—
31	#421	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#418	C₂²	1	2	yes	—
34	#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#410	—	2	4	no	—
36	#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#410	C₂²	1	2	yes	—
39	#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#410	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#99	—	2	4	no	—
42	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#344	C₂²	1	2	yes	complemented
44	H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	complemented
45	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
46	2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
47	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
48	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	1	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	1	no	—
52	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
54	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#137	—	2	4	no	—
65	#137	—	2	8	no	—
66	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
67	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
68	#135	—	2	4	no	—
69	#135	—	2	4	no	—
70	#135	—	2	2	no	—
71	#135	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
73	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
75	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
80	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
81	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
82	C₂×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
86	#131	—	2	2	no	—
87	#131	—	2	2	no	—
88	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
89	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
92	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
94	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
95	C₄×D₄	—	2	4	no	—
96	C₄×D₄	—	4	2	no	—
97	#117	—	2	4	no	—
98	#117	C₂³	1	2	yes	—
99	#117	C₂³	1	2	yes	—
100	#117	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
102	#107	—	2	2	no	—
103	#106	—	2	2	no	—
104	#104	—	4	2	no	—
105	#104	—	4	2	no	—
106	#103	—	2	4	no	—
107	#102	—	2	4	no	—
108	#101	—	2	1	no	—
109	#100	—	2	1	no	—
110	#99	—	2	2	no	—
111	#99	—	2	2	no	—
112	#99	—	2	4	no	—
113	#99	—	2	4	no	—
114	#99	D₄	1	4	yes	—
115	#97	—	2	2	no	—
116	C₄×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂⁴	—	2	1	no	—
118	C₂⁴	—	2	2	no	—
119	#41	—	2	2	no	—
120	#41	—	2	2	no	—
121	#41	—	2	4	no	—
122	#41	—	2	4	no	—
123	#41	—	2	2	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	—	2	2	no	—
126	#41	—	2	2	no	—
127	#41	—	4	2	no	—
128	#41	—	4	2	no	—
129	#41	—	4	8	no	—
130	#41	—	4	4	no	—
131	#41	—	4	4	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
138	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	1	no	—
147	C₂×D₄	—	2	1	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	1	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	4	4	no	—
153	C₂×D₄	—	4	8	no	—
154	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	Q₁₆	—	2	4	no	—
170	Q₁₆	—	2	2	no	—
171	SD₁₆	—	2	4	no	—
172	SD₁₆	—	2	4	no	—
173	SD₁₆	—	2	1	no	—
174	SD₁₆	—	2	1	no	—
175	SD₁₆	—	2	1	no	—
176	SD₁₆	—	2	1	no	—
177	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
180	D₈	—	2	4	no	—
181	D₈	—	2	2	no	—
182	M₁₆	—	2	2	no	—
183	M₁₆	—	2	4	no	—
184	M₁₆	—	2	2	no	—
185	M₁₆	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	2	no	—
205	C₄²	—	4	4	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	1	no	—
209	C₂³	—	2	1	no	—
210	C₂³	—	4	4	no	—
211	C₂³	—	16	1	no	—
212	C₂³	—	16	2	no	—
213	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	Q₈	—	2	2	no	—
216	Q₈	—	2	4	no	—
217	Q₈	—	2	2	no	—
218	Q₈	—	2	1	no	—
219	Q₈	—	2	1	no	—
220	Q₈	—	2	1	no	—
221	Q₈	—	2	1	no	—
222	Q₈	—	4	4	no	—
223	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	D₄	—	2	4	no	—
225	D₄	—	2	1	no	—
226	D₄	—	2	1	no	—
227	D₄	—	2	2	no	—
228	D₄	—	2	1	no	—
229	D₄	—	2	1	no	—
230	D₄	—	2	4	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	4	4	no	—
233	D₄	—	4	4	no	—
234	D₄	—	4	4	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	4	2	no	—
237	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	16	4	no	—
253	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
258	C₈	—	2	2	no	—
259	C₈	—	4	2	no	—
260	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	4	1	no	—
266	C₂²	—	4	2	no	—
267	C₂²	—	4	1	no	—
268	C₂²	—	4	1	no	—
269	C₂²	—	8	4	no	—
270	C₂²	—	8	2	no	—
271	C₂²	—	8	1	no	—
272	C₂²	—	8	1	no	—
273	C₂²	—	16	4	no	—
274	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	D₄²	1	2	yes	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	4	4	no	—
279	C₄	—	4	1	no	—
280	C₄	—	4	1	no	—
281	C₄	—	8	2	no	—
282	C₄	—	8	2	no	—
283	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#546	1	2	yes	—
286	C₂	—	2	2	no	—
287	C₂	—	2	1	no	—
288	C₂	—	4	2	no	—
289	C₂	—	4	4	no	—
290	C₂	—	8	1	no	—
291	C₂	—	8	1	no	—
292	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#577	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2949	C₂	semidirect
3. #2884	C₂	semidirect
4. #2883	C₂	semidirect
5. #1976	C₂	semidirect
6. #1905	C₂	semidirect
7. #1904	C₂	semidirect
8. #1812	C₂	semidirect
9. #1796	C₂	semidirect
10. #1795	C₂	semidirect
11. #1757	C₂	semidirect
16. C₂×#137	C₄	semidirect
18. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
20. C₂×#135	C₄	semidirect
22. C₂²×SD₁₆	C₄	semidirect
25. #519	C₂²	semidirect
29. #427	C₂²	semidirect
31. #421	C₂²	semidirect
32. #419	C₂²	semidirect
40. #410	C₂²	semidirect
42. #405	C₂²	semidirect
43. #344	C₂²	semidirect
44. H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
53. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
58. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
79. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
81. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
85. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
91. C₂²×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#577	2
#2949	2
#2884	2
#2883	2
#1976	2
#1905	2
#1904	2
#1812	2
#1796	2
#1795	2
#1757	2