Subgroups — #22459

Order 256.

656 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 295 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#577	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2889	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1903	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1902	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1795	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#577	—	2	4	no	—
15	#577	—	2	4	no	—
16	C₂×#137	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#137	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#135	C₄	1	2	yes	complemented
21	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#568	C₂²	1	2	yes	—
25	#568	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#444	—	2	4	no	—
28	#443	—	2	4	no	—
29	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#421	C₂²	1	2	yes	—
31	#421	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#418	C₂²	1	2	yes	—
34	#413	—	2	2	no	—
35	#413	—	2	2	no	—
36	#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#101	—	2	2	no	—
40	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#100	—	2	2	no	—
42	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
43	#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#344	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#338	C₂²	1	2	yes	complemented
47	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
48	2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
49	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
50	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	1	no	—
52	C₂×#41	—	2	1	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#137	—	2	4	no	—
67	#137	—	2	8	no	—
68	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
69	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
70	#135	—	2	4	no	—
71	#135	—	2	4	no	—
72	#135	D₄	1	4	yes	—
73	#135	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
77	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
78	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
79	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#131	—	2	2	no	—
89	#131	—	2	2	no	—
90	#131	—	2	4	no	—
91	#131	—	2	4	no	—
92	#131	—	4	2	no	—
93	#131	—	4	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#117	C₂³	1	2	yes	—
104	#108	—	2	2	no	—
105	#108	—	2	2	no	—
106	#104	—	2	4	no	—
107	#104	—	2	4	no	—
108	#103	—	4	2	no	—
109	#102	—	4	2	no	—
110	#101	—	2	1	no	—
111	#101	—	2	1	no	—
112	#101	—	2	4	no	—
113	#101	D₄	1	2	yes	—
114	#100	—	2	1	no	—
115	#100	—	2	1	no	—
116	#100	—	2	4	no	—
117	#100	D₄	1	2	yes	—
118	#99	—	2	2	no	—
119	#97	—	2	2	no	—
120	C₄×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂⁴	—	2	2	no	—
122	C₂⁴	—	2	1	no	—
123	#41	—	2	2	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	—	2	2	no	—
126	#41	—	2	2	no	—
127	#41	—	2	4	no	—
128	#41	—	2	4	no	—
129	#41	—	4	2	no	—
130	#41	—	4	2	no	—
131	#41	—	4	4	no	—
132	#41	—	4	4	no	—
133	#41	—	4	8	no	—
134	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
143	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×D₄	—	2	1	no	—
148	C₂×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₄	#41	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	Q₁₆	—	2	4	no	—
173	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
174	SD₁₆	—	2	4	no	—
175	SD₁₆	—	2	4	no	—
176	SD₁₆	—	2	2	no	—
177	SD₁₆	—	2	2	no	—
178	SD₁₆	—	2	4	no	—
179	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	D₈	—	2	4	no	—
184	D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	M₁₆	—	2	2	no	—
186	M₁₆	—	2	2	no	—
187	M₁₆	—	2	4	no	—
188	M₁₆	—	2	2	no	—
189	M₁₆	—	2	2	no	—
190	M₁₆	—	2	2	no	—
191	M₁₆	—	2	2	no	—
192	M₁₆	—	4	4	no	—
193	M₁₆	—	4	4	no	—
194	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	4	no	—
202	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	1	no	—
211	C₂³	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	4	4	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	16	1	no	—
216	C₂³	—	16	2	no	—
217	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	2	1	no	—
220	Q₈	—	2	1	no	—
221	Q₈	—	2	2	no	—
222	Q₈	—	2	2	no	—
223	Q₈	—	2	2	no	—
224	Q₈	—	4	4	no	—
225	Q₈	—	4	2	no	—
226	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	D₄	—	2	4	no	—
229	D₄	—	2	4	no	—
230	D₄	—	2	4	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	2	1	no	—
233	D₄	—	2	1	no	—
234	D₄	—	2	2	no	—
235	D₄	—	2	2	no	—
236	D₄	—	4	4	no	—
237	D₄	—	4	4	no	—
238	D₄	—	4	4	no	—
239	D₄	—	4	2	no	—
240	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₈	—	2	2	no	—
260	C₈	—	2	4	no	—
261	C₈	—	4	2	no	—
262	C₈	—	4	2	no	—
263	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	4	1	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	4	2	no	—
272	C₂²	—	8	1	no	—
273	C₂²	—	8	1	no	—
274	C₂²	—	8	2	no	—
275	C₂²	—	16	2	no	—
276	C₂²	—	16	4	no	—
277	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	#546	1	2	yes	—
279	C₄	—	2	2	no	—
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	2	2	no	—
282	C₄	—	4	2	no	—
283	C₄	—	8	2	no	—
284	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₄	#518	1	1	yes	characteristic
286	C₄	D₄²	1	2	yes	—
287	C₂	—	2	2	no	—
288	C₂	—	2	1	no	—
289	C₂	—	4	2	no	—
290	C₂	—	4	2	no	—
291	C₂	—	4	2	no	—
292	C₂	—	8	2	no	—
293	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#577	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2957	C₂	semidirect
3. #2889	C₂	semidirect
4. #2888	C₂	semidirect
5. #1977	C₂	semidirect
6. #1903	C₂	semidirect
7. #1902	C₂	semidirect
8. #1813	C₂	semidirect
9. #1796	C₂	semidirect
10. #1795	C₂	semidirect
11. #1757	C₂	semidirect
16. C₂×#137	C₄	semidirect
18. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
20. C₂×#135	C₄	semidirect
22. C₂²×SD₁₆	C₄	semidirect
25. #568	C₂²	semidirect
29. C₂×#108	C₂²	semidirect
31. #421	C₂²	semidirect
32. #419	C₂²	semidirect
40. C₂×#101	C₂²	semidirect
44. #405	C₂²	semidirect
45. #344	C₂²	semidirect
46. #338	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#577	2
#2957	2
#2889	2
#2888	2
#1977	2
#1903	2
#1902	2
#1813	2
#1796	2
#1795	2
#1757	2