Subgroups — #22462

Order 256.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 323 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3584	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2901	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1976	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1974	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1906	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1881	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1794	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#585	C₂²	1	2	yes	—
13	#578	—	2	1	no	—
14	#578	C₄	1	2	yes	complemented
15	#577	—	2	2	no	—
16	#577	C₄	1	4	yes	complemented
17	#576	—	2	1	no	—
18	#576	C₄	1	2	yes	complemented
19	#575	—	2	2	no	—
20	#575	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#135	—	2	2	no	—
22	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#568	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#444	—	2	2	no	—
28	#443	—	2	2	no	—
29	C₄×Q₁₆	—	2	1	no	—
30	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
31	C₄×D₈	—	2	1	no	—
32	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#421	—	2	4	no	—
35	#421	C₂²	1	2	yes	—
36	#421	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#421	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#104	—	2	4	no	—
39	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#410	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#344	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#341	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
51	2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
52	2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
54	H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
55	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
56	H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	—	4	2	no	—
60	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#137	—	2	2	no	—
64	#137	—	2	4	no	—
65	#137	—	2	4	no	—
66	#137	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
68	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
69	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
70	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	#135	—	2	4	no	—
72	#135	—	2	2	no	—
73	#135	—	2	4	no	—
74	#135	—	2	2	no	—
75	#135	—	2	1	no	—
76	#135	—	2	1	no	—
77	#135	—	2	1	no	—
78	#135	—	2	1	no	—
79	#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#135	D₄	1	2	yes	—
82	#135	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
84	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
85	C₂×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
88	C₂×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×D₈	—	2	2	no	—
90	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
91	C₂×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	#131	—	2	1	no	—
93	#131	—	2	1	no	—
94	#131	—	2	4	no	—
95	#131	—	4	2	no	—
96	#131	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
97	#131	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
98	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄×D₄	—	2	2	no	—
108	C₄×D₄	—	4	2	no	—
109	#117	—	2	2	no	—
110	#117	C₂³	1	2	yes	—
111	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#108	—	2	1	no	—
115	#108	—	2	1	no	—
116	#107	—	2	1	no	—
117	#106	—	2	1	no	—
118	#104	—	2	4	no	—
119	#104	—	2	4	no	—
120	#104	—	2	4	no	—
121	#104	—	2	2	no	—
122	#104	—	2	2	no	—
123	#104	D₄	1	2	yes	—
124	#104	D₄	1	2	yes	—
125	#103	—	2	2	no	—
126	#103	—	2	1	no	—
127	#102	—	2	2	no	—
128	#102	—	2	1	no	—
129	#99	—	4	2	no	—
130	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
131	#97	—	2	1	no	—
132	C₄×C₈	—	2	1	no	—
133	C₄×C₈	—	2	1	no	—
134	C₄×C₈	—	2	1	no	—
135	#41	—	2	1	no	—
136	#41	—	2	2	no	—
137	#41	—	2	2	no	—
138	#41	—	2	1	no	—
139	#41	—	2	4	no	—
140	#41	—	2	4	no	—
141	#41	—	2	4	no	—
142	#41	—	2	4	no	—
143	#41	—	2	2	no	—
144	#41	—	2	2	no	—
145	#41	—	2	2	no	—
146	#41	—	2	2	no	—
147	#41	—	4	4	no	—
148	#41	—	4	4	no	—
149	#41	—	4	4	no	—
150	#41	—	4	4	no	—
151	#41	—	4	2	no	—
152	#41	—	4	2	no	—
153	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
160	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	1	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	Q₁₆	—	2	4	no	—
183	Q₁₆	—	2	1	no	—
184	Q₁₆	—	2	1	no	—
185	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	SD₁₆	—	2	4	no	—
188	SD₁₆	—	2	4	no	—
189	SD₁₆	—	2	2	no	—
190	SD₁₆	—	2	2	no	—
191	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	D₈	—	2	4	no	—
194	D₈	—	2	1	no	—
195	D₈	—	2	1	no	—
196	D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	M₁₆	—	2	1	no	—
199	M₁₆	—	2	1	no	—
200	M₁₆	—	2	2	no	—
201	M₁₆	—	2	2	no	—
202	M₁₆	—	2	2	no	—
203	M₁₆	—	2	2	no	—
204	M₁₆	—	4	4	no	—
205	M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄²	—	2	1	no	—
229	C₄²	—	2	1	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	4	2	no	—
232	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	1	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	Q₈	—	2	1	no	—
240	Q₈	—	2	2	no	—
241	Q₈	—	2	2	no	—
242	Q₈	—	2	2	no	—
243	Q₈	—	4	4	no	—
244	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
245	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	D₄	—	2	2	no	—
247	D₄	—	2	4	no	—
248	D₄	—	2	2	no	—
249	D₄	—	2	4	no	—
250	D₄	—	2	2	no	—
251	D₄	—	2	2	no	—
252	D₄	—	2	1	no	—
253	D₄	—	2	2	no	—
254	D₄	—	4	4	no	—
255	D₄	—	4	4	no	—
256	D₄	—	4	4	no	—
257	D₄	—	4	2	no	—
258	D₄	—	4	2	no	—
259	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
260	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
285	C₈	—	2	2	no	—
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	4	2	no	—
288	C₈	—	4	1	no	—
289	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	8	2	no	—
298	C₂²	—	8	1	no	—
299	C₂²	—	8	2	no	—
300	C₂²	—	16	4	no	—
301	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
304	C₄	—	2	2	no	—
305	C₄	—	2	2	no	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	4	1	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	8	1	no	—
310	C₄	—	8	2	no	—
311	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
315	C₂	—	2	1	no	—
316	C₂	—	2	1	no	—
317	C₂	—	2	1	no	—
318	C₂	—	4	4	no	—
319	C₂	—	4	2	no	—
320	C₂	—	8	2	no	—
321	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂	D₄×C₂²⋊C₄
prime radical	#3584	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2957	C₂	semidirect
3. C₄×#135	C₂	semidirect
4. #2901	C₂	semidirect
5. #1976	C₂	semidirect
6. #1974	C₂	semidirect
7. #1906	C₂	semidirect
8. #1881	C₂	semidirect
9. #1814	C₂	semidirect
10. #1794	C₂	semidirect
11. #1764	C₂	semidirect
14. #578	C₄	semidirect
16. #577	C₄	semidirect
18. #576	C₄	semidirect
24. #568	C₂²	semidirect
26. C₄×#41	C₂²	semidirect
32. C₂×#108	C₂²	semidirect
33. #427	C₂²	semidirect
36. #421	C₂²	semidirect
37. #421	C₂²	semidirect
40. C₂×#104	C₂²	semidirect
42. #416	C₂²	semidirect
43. #410	C₂²	semidirect
44. #408	C₂²	semidirect
45. #405	C₂²	semidirect
46. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
47. #344	C₂²	semidirect
48. #341	C₂²	semidirect
49. #339	C₂²	semidirect
52. 2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	semidirect
56. H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
66. #137	C₂×C₄	semidirect
70. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
87. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
96. #131	C₂×C₄	semidirect
97. #131	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3584	2
#2957	2
C₄×#135	2
#2901	2
#1976	2
#1974	2
#1906	2
#1881	2
#1814	2
#1794	2
#1764	2