Subgroups — #22463

Order 256.

690 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 282 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#576	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2952	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1978	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1907	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1883	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1792	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
13	#576	—	2	4	no	—
14	#576	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#135	—	2	1	no	—
18	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
20	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#520	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#444	—	2	4	no	—
25	#442	—	2	1	no	—
26	#441	—	2	1	no	—
27	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#418	—	2	2	no	—
33	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#417	—	2	2	no	—
35	#417	C₂²	1	2	yes	—
36	#417	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#416	—	2	2	no	—
38	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#102	—	2	2	no	—
40	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#343	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#341	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
49	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
50	H(5,𝔽₂)	—	4	2	no	—
51	H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
61	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
62	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	#135	—	2	8	no	—
64	#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#135	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×D₈	—	2	2	no	—
70	C₂×D₈	—	2	8	no	—
71	C₂×D₈	—	2	1	no	—
72	C₂×D₈	—	2	1	no	—
73	C₂×D₈	—	2	2	no	—
74	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₂×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	#131	—	2	2	no	—
77	#131	—	2	4	no	—
78	#131	—	4	2	no	—
79	#131	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	—	4	2	no	—
92	#117	—	2	2	no	—
93	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#108	—	2	2	no	—
99	#106	—	2	1	no	—
100	#106	—	2	1	no	—
101	#104	—	2	4	no	—
102	#104	—	2	2	no	—
103	#103	—	2	2	no	—
104	#103	—	2	2	no	—
105	#103	D₄	1	2	yes	—
106	#102	—	2	2	no	—
107	#102	—	2	2	no	—
108	#102	—	2	2	no	—
109	#102	—	2	2	no	—
110	#102	—	2	2	no	—
111	#102	—	2	2	no	—
112	#102	D₄	1	2	yes	—
113	#100	—	4	2	no	—
114	#97	—	2	2	no	—
115	#97	—	2	1	no	—
116	C₄×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂⁴	—	2	2	no	—
118	C₂⁴	—	4	2	no	—
119	#41	—	2	1	no	—
120	#41	—	2	2	no	—
121	#41	—	2	2	no	—
122	#41	—	2	1	no	—
123	#41	—	2	8	no	—
124	#41	—	2	8	no	—
125	#41	—	4	4	no	—
126	#41	—	4	4	no	—
127	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	#41	#41	1	2	yes	—
131	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	1	no	—
135	C₂×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×D₄	—	4	4	no	—
143	C₂×D₄	—	4	4	no	—
144	C₂×D₄	—	4	2	no	—
145	C₂×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	8	no	—
147	C₂×D₄	—	4	8	no	—
148	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
159	SD₁₆	—	2	8	no	—
160	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
161	D₈	—	2	8	no	—
162	D₈	—	2	4	no	—
163	D₈	—	2	4	no	—
164	D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	complemented
165	M₁₆	—	2	1	no	—
166	M₁₆	—	2	4	no	—
167	M₁₆	—	2	2	no	—
168	M₁₆	—	2	1	no	—
169	M₁₆	—	2	1	no	—
170	M₁₆	—	2	2	no	—
171	M₁₆	—	4	4	no	—
172	M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	4	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	4	4	no	—
180	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
192	C₄²	—	2	1	no	—
193	C₄²	—	2	1	no	—
194	C₄²	—	2	1	no	—
195	C₄²	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	1	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	4	8	no	—
200	C₂³	—	4	2	no	—
201	C₂³	—	4	2	no	—
202	C₂³	—	8	2	no	—
203	C₂³	—	8	2	no	—
204	C₂³	—	16	2	no	—
205	C₂³	—	16	2	no	—
206	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	Q₈	—	2	1	no	—
208	Q₈	—	2	2	no	—
209	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	D₄	—	2	2	no	—
212	D₄	—	2	4	no	—
213	D₄	—	2	2	no	—
214	D₄	—	2	4	no	—
215	D₄	—	2	4	no	—
216	D₄	—	2	4	no	—
217	D₄	—	2	1	no	—
218	D₄	—	2	2	no	—
219	D₄	—	4	8	no	—
220	D₄	—	4	8	no	—
221	D₄	—	4	2	no	—
222	D₄	—	4	2	no	—
223	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂×C₄	—	16	2	no	—
238	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₈	—	2	2	no	—
245	C₈	—	2	2	no	—
246	C₈	—	4	2	no	—
247	C₈	—	4	1	no	—
248	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	2	4	no	—
253	C₂²	—	4	2	no	—
254	C₂²	—	4	2	no	—
255	C₂²	—	4	2	no	—
256	C₂²	—	4	4	no	—
257	C₂²	—	8	4	no	—
258	C₂²	—	8	2	no	—
259	C₂²	—	8	2	no	—
260	C₂²	—	16	2	no	—
261	C₂²	—	16	8	no	—
262	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
265	C₄	—	2	2	no	—
266	C₄	—	2	4	no	—
267	C₄	—	4	2	no	—
268	C₄	—	8	1	no	—
269	C₄	—	8	2	no	—
270	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
273	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
274	C₂	—	2	1	no	—
275	C₂	—	2	1	no	—
276	C₂	—	4	4	no	—
277	C₂	—	4	2	no	—
278	C₂	—	8	4	no	—
279	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#3288	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#576	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. #2952	C₂	semidirect
4. #2897	C₂	semidirect
5. #1978	C₂	semidirect
6. #1972	C₂	semidirect
7. #1907	C₂	semidirect
8. #1883	C₂	semidirect
9. #1815	C₂	semidirect
10. #1792	C₂	semidirect
11. #1765	C₂	semidirect
14. #576	C₄	semidirect
22. C₂×#131	C₂²	semidirect
23. #520	C₂²	semidirect
28. C₂×#108	C₂²	semidirect
29. C₂×#106	C₂²	semidirect
31. C₂×#104	C₂²	semidirect
33. #418	C₂²	semidirect
36. #417	C₂²	semidirect
40. C₂×#102	C₂²	semidirect
41. C₂×#100	C₂²	semidirect
42. #405	C₂²	semidirect
43. C₂×#97	C₂²	semidirect
44. #390	C₂²	semidirect
45. #343	C₂²	semidirect
46. #341	C₂²	semidirect
47. #339	C₂²	semidirect
51. H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
62. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
74. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
79. #131	C₂×C₄	semidirect
158. Q₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
160. SD₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
164. D₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#576	2
C₂×#444	2
#2952	2
#2897	2
#1978	2
#1972	2
#1907	2
#1883	2
#1815	2
#1792	2
#1765	2