Subgroups — #22465

Order 256.

656 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 271 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#578	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2952	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1908	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1882	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1793	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
13	#578	—	2	4	no	—
14	#578	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#137	—	2	2	no	—
16	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#135	—	2	1	no	—
18	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
20	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#520	C₂²	1	2	yes	—
24	#444	—	2	4	no	—
25	#442	—	2	1	no	—
26	#441	—	2	1	no	—
27	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#104	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
32	#419	—	2	2	no	—
33	#419	C₂²	1	2	yes	—
34	#417	—	2	2	no	—
35	#417	C₂²	1	2	yes	—
36	#417	C₂²	1	2	yes	—
37	#416	—	2	2	no	—
38	#416	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#103	—	2	2	no	—
40	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	—
42	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#391	C₂²	1	2	yes	—
45	#343	C₂²	1	2	yes	—
46	#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
49	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
50	2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
51	2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×#41	—	4	2	no	—
55	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#137	—	2	4	no	—
61	#137	—	2	16	no	—
62	#137	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	#135	—	2	8	no	—
64	#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#135	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
68	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
69	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
70	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	C₂×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	#131	—	2	2	no	—
77	#131	—	2	4	no	—
78	#131	—	4	2	no	—
79	#131	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₄×D₄	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	—	4	2	no	—
92	#117	—	2	2	no	—
93	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#108	—	2	2	no	—
98	#106	—	2	1	no	—
99	#106	—	2	1	no	—
100	#104	—	2	4	no	—
101	#104	—	2	2	no	—
102	#103	—	2	2	no	—
103	#103	—	2	2	no	—
104	#103	—	2	2	no	—
105	#103	—	2	2	no	—
106	#103	—	2	2	no	—
107	#103	—	2	2	no	—
108	#103	D₄	1	2	yes	—
109	#102	—	2	2	no	—
110	#102	—	2	2	no	—
111	#102	D₄	1	2	yes	—
112	#101	—	4	2	no	—
113	#97	—	2	2	no	—
114	#97	—	2	1	no	—
115	C₄×C₈	—	2	1	no	—
116	#95	—	4	2	no	—
117	#41	—	2	1	no	—
118	#41	—	2	2	no	—
119	#41	—	2	2	no	—
120	#41	—	2	1	no	—
121	#41	—	2	8	no	—
122	#41	—	2	8	no	—
123	#41	—	4	8	no	—
124	#41	—	4	4	no	—
125	#41	—	4	4	no	—
126	#41	—	4	8	no	—
127	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	#41	#41	1	2	yes	—
131	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
139	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	1	no	—
146	C₂×D₄	—	4	2	no	—
147	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	Q₁₆	—	2	8	no	—
159	Q₁₆	—	2	4	no	—
160	Q₁₆	—	2	4	no	—
161	Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	SD₁₆	—	2	8	no	—
163	SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
164	D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
165	M₁₆	—	2	1	no	—
166	M₁₆	—	2	4	no	—
167	M₁₆	—	2	2	no	—
168	M₁₆	—	2	1	no	—
169	M₁₆	—	2	1	no	—
170	M₁₆	—	2	2	no	—
171	M₁₆	—	4	4	no	—
172	M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	4	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	4	4	no	—
180	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₄²	—	2	1	no	—
192	C₄²	—	2	1	no	—
193	C₄²	—	2	1	no	—
194	C₄²	—	4	2	no	—
195	C₂³	—	2	2	no	—
196	C₂³	—	2	1	no	—
197	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
198	Q₈	—	2	1	no	—
199	Q₈	—	2	2	no	—
200	Q₈	—	2	4	no	—
201	Q₈	—	2	4	no	—
202	Q₈	—	4	8	no	—
203	Q₈	—	4	2	no	—
204	Q₈	—	4	2	no	—
205	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
207	D₄	—	2	2	no	—
208	D₄	—	2	4	no	—
209	D₄	—	2	2	no	—
210	D₄	—	2	4	no	—
211	D₄	—	2	1	no	—
212	D₄	—	2	2	no	—
213	D₄	—	4	8	no	—
214	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂×C₄	—	8	2	no	—
232	C₂×C₄	—	16	2	no	—
233	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₈	—	2	2	no	—
240	C₈	—	2	2	no	—
241	C₈	—	4	2	no	—
242	C₈	—	4	1	no	—
243	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	2	no	—
247	C₂²	—	2	4	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	4	2	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	D₄²	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#546	1	1	yes	characteristic
254	C₄	—	2	2	no	—
255	C₄	—	2	4	no	—
256	C₄	—	4	4	no	—
257	C₄	—	4	2	no	—
258	C₄	—	8	1	no	—
259	C₄	—	8	2	no	—
260	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
263	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
264	C₂	—	2	1	no	—
265	C₂	—	2	1	no	—
266	C₂	—	4	2	no	—
267	C₂	—	4	4	no	—
268	C₂	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#3289	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#578	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. #2952	C₂	semidirect
4. #2898	C₂	semidirect
5. #1979	C₂	semidirect
6. #1971	C₂	semidirect
7. #1908	C₂	semidirect
8. #1882	C₂	semidirect
9. #1815	C₂	semidirect
10. #1793	C₂	semidirect
11. #1765	C₂	semidirect
14. #578	C₄	semidirect
51. 2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	semidirect
62. #137	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
79. #131	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#578	2
C₂×#444	2
#2952	2
#2898	2
#1979	2
#1971	2
#1908	2
#1882	2
#1815	2
#1793	2
#1765	2