Subgroups — #224662

Order 512.

1001 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 313 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9699	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#9695	C₂	1	2	yes	maximal
5	#8592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#559	C₄	1	2	yes	—
10	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2858	C₂²	1	2	yes	—
12	#2548	—	2	2	no	—
13	#2548	C₄	1	2	yes	—
14	#2544	C₄	1	4	yes	—
15	#2445	—	2	4	no	—
16	#2366	—	2	2	no	—
17	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄²×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1984	—	2	2	no	—
21	#1916	—	2	4	no	—
22	#1842	C₂²	1	2	yes	—
23	#1831	C₂²	1	4	yes	—
24	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
31	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1296	C₂²	1	2	yes	—
33	#1296	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#559	—	4	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#127	—	2	2	no	—
37	C₂×#127	—	2	2	no	—
38	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#124	—	2	2	no	—
42	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#123	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	#394	—	2	8	no	—
59	#394	—	2	4	no	—
60	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#390	—	2	4	no	—
62	#390	—	2	4	no	—
63	#390	—	2	4	no	—
64	#390	—	2	4	no	—
65	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#389	—	2	2	no	—
67	#386	—	2	8	no	—
68	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
74	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#336	—	2	4	no	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	#336	—	2	2	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#333	—	2	4	no	—
81	#333	—	4	2	no	—
82	#331	—	2	8	no	—
83	#331	—	4	4	no	—
84	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
98	#127	—	2	4	no	—
99	#127	—	2	2	no	—
100	#127	—	2	2	no	—
101	#127	—	4	4	no	—
102	#127	—	4	4	no	—
103	#127	—	4	4	no	—
104	#127	—	8	2	no	—
105	#127	—	8	2	no	—
106	#127	—	8	2	no	—
107	#124	—	4	8	no	—
108	#124	—	4	8	no	—
109	#124	—	8	4	no	—
110	#123	—	4	16	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
115	C₄×D₄	—	4	8	no	—
116	C₄×D₄	—	4	8	no	—
117	C₄×D₄	—	8	4	no	—
118	C₄×D₄	—	8	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
149	C₄⋊C₈	#41	1	4	yes	—
150	C₄×C₈	—	4	4	no	—
151	C₄×C₈	—	8	4	no	—
152	#95	—	2	4	no	—
153	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	4	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	8	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	8	4	no	—
177	C₂×D₄	—	8	4	no	—
178	C₂×D₄	—	8	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	—	2	4	no	—
192	C₂×C₈	—	4	2	no	—
193	C₂×C₈	—	4	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	2	no	—
195	C₂×C₈	—	4	4	no	—
196	C₂×C₈	—	4	2	no	—
197	C₂×C₈	—	4	4	no	—
198	C₂×C₈	—	4	4	no	—
199	C₂×C₈	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
215	C₄²	—	2	4	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	4	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	—	4	2	no	—
224	C₄²	—	4	1	no	—
225	C₄²	—	4	4	no	—
226	C₄²	#135	1	4	yes	—
227	C₄²	#135	1	4	yes	—
228	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	4	4	no	—
233	C₂³	—	4	4	no	—
234	C₂³	—	4	8	no	—
235	C₂³	—	4	8	no	—
236	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	Q₈	—	4	4	no	—
238	Q₈	—	8	2	no	—
239	Q₈	—	8	2	no	—
240	D₄	—	8	4	no	—
241	D₄	—	8	4	no	—
242	D₄	—	8	8	no	—
243	D₄	—	8	4	no	—
244	D₄	—	8	4	no	—
245	D₄	—	8	4	no	—
246	D₄	—	8	4	no	—
247	D₄	—	16	8	no	—
248	D₄	—	16	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	16	8	no	—
267	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
279	C₈	—	4	4	no	—
280	C₈	—	8	2	no	—
281	C₈	—	8	4	no	—
282	C₂²	—	8	4	no	—
283	C₂²	—	8	8	no	—
284	C₂²	—	8	4	no	—
285	C₂²	—	8	8	no	—
286	C₂²	—	8	4	no	—
287	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
291	C₂²	#2897	1	2	yes	—
292	C₄	—	2	1	no	—
293	C₄	—	2	1	no	—
294	C₄	—	2	4	no	—
295	C₄	—	2	4	no	—
296	C₄	—	4	2	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	1	no	—
299	C₄	—	8	2	no	—
300	C₄	—	8	2	no	—
301	C₄	#1543	1	4	yes	—
302	C₄	#3361	1	2	yes	—
303	C₄	#3365	1	2	yes	—
304	C₄	#3394	1	2	yes	—
305	C₄	#3396	1	2	yes	—
306	C₂	—	16	4	no	—
307	C₂	C₂×#1543	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#17724	1	2	yes	—
309	C₂	#17770	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#22536	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#22543	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#2867	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22821	C₂	semidirect
3. #9699	C₂	semidirect
5. #8592	C₂	semidirect
6. #8587	C₂	semidirect
7. C₄×#333	C₂	semidirect
8. C₄×#331	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36595	2
#22821	2
#9699	2
#9695	2
#8592	2
#8587	2
C₄×#333	2
C₄×#331	2