Subgroups — #22471

Order 256.

712 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1985	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#41	—	2	8	no	—
16	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#435	—	2	8	no	—
31	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
37	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#41	—	2	4	no	—
46	C₂×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×#41	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
67	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
72	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
73	C₄×D₄	—	2	4	no	—
74	C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₄×D₄	—	2	4	no	—
76	C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₄×D₄	—	2	4	no	—
78	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
79	#117	—	2	4	no	—
80	#117	—	2	4	no	—
81	#117	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
112	#97	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	#41	—	2	32	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂×D₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
156	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
157	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	M₁₆	—	4	8	no	—
172	C₂×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	4	8	no	—
184	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	2	no	—
199	C₄²	—	2	2	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	2	no	—
205	C₄²	—	2	2	no	—
206	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂³	—	2	1	no	—
208	C₂³	—	2	1	no	—
209	C₂³	—	2	1	no	—
210	C₂³	—	2	1	no	—
211	C₂³	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	1	no	—
213	C₂³	—	2	1	no	—
214	C₂³	—	2	1	no	—
215	C₂³	—	2	1	no	—
216	C₂³	—	2	1	no	—
217	C₂³	—	2	1	no	—
218	C₂³	—	2	1	no	—
219	C₂³	—	2	1	no	—
220	C₂³	—	2	1	no	—
221	C₂³	—	2	1	no	—
222	C₂³	—	2	1	no	—
223	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
226	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	2	8	no	—
230	D₄	—	2	8	no	—
231	D₄	—	2	8	no	—
232	D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	1	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
282	C₈	—	2	4	no	—
283	C₈	—	4	2	no	—
284	C₈	—	4	2	no	—
285	C₈	—	4	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	2	2	no	—
289	C₂²	—	2	2	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	2	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	4	1	no	—
299	C₂²	—	4	1	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	1	no	—
302	C₂²	—	4	1	no	—
303	C₂²	—	4	1	no	—
304	C₂²	—	4	1	no	—
305	C₂²	—	4	1	no	—
306	C₂²	#407	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	4	1	no	—
323	C₄	—	4	1	no	—
324	C₄	—	4	1	no	—
325	C₄	#546	1	2	yes	—
326	C₄	#547	1	2	yes	—
327	C₂	—	2	4	no	—
328	C₂	—	4	2	no	—
329	C₂	—	4	2	no	—
330	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#2965	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#2970	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#2989	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#2990	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#435	C₂	semidirect
3. #1985	C₂	semidirect
4. #1870	C₂	semidirect
5. #1869	C₂	semidirect
6. #1817	C₂	semidirect
7. #1817	C₂	semidirect
8. #1797	C₂	semidirect
9. #1749	C₂	semidirect
10. #1728	C₂	semidirect
11. C₂×#336	C₂	semidirect
128. C₂×D₄	M₁₆	semidirect
156. C₂²×C₄	M₁₆	semidirect
184. C₂×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
C₂×#435	2
#1985	2
#1870	2
#1869	2
#1817	2
#1797	2
#1749	2
#1728	2
C₂×#336	2