Subgroups — #22474

Order 256.

598 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 289 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1729	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#529	—	2	4	no	—
15	#529	—	2	4	no	—
16	C₂×#126	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#125	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#123	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#436	—	2	4	no	—
28	C₈×D₄	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#336	C₂²	1	2	yes	—
39	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	#336	C₂²	1	2	yes	—
44	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#126	—	2	8	no	—
65	#125	—	2	4	no	—
66	#124	—	2	4	no	—
67	#123	—	2	8	no	—
68	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	#121	—	2	4	no	—
70	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₄×D₄	—	2	4	no	—
74	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
75	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
76	#117	—	2	4	no	—
77	#117	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
103	C₄×C₈	—	2	2	no	—
104	C₄×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₄	—	4	2	no	—
115	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	M₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂×C₈	—	2	1	no	—
149	C₂×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂×C₈	—	2	1	no	—
159	C₂×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
162	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
163	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₄²	—	2	2	no	—
175	C₄²	—	2	2	no	—
176	C₄²	—	2	1	no	—
177	C₄²	—	2	1	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂³	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	1	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	1	no	—
187	C₂³	—	2	1	no	—
188	C₂³	—	2	1	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	1	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	C₂³	#131	1	2	yes	—
196	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	Q₈	—	4	4	no	—
198	D₄	—	2	8	no	—
199	D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₈	—	2	2	no	—
241	C₈	—	2	2	no	—
242	C₈	—	4	2	no	—
243	C₈	—	4	2	no	—
244	C₈	—	4	1	no	—
245	C₈	—	4	1	no	—
246	C₂²	—	2	4	no	—
247	C₂²	—	2	4	no	—
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	4	no	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	4	1	no	—
253	C₂²	—	4	1	no	—
254	C₂²	—	4	2	no	—
255	C₂²	—	4	1	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	4	1	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
267	C₄	—	2	4	no	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	4	1	no	—
270	C₄	—	4	1	no	—
271	C₄	—	4	2	no	—
272	C₄	—	4	1	no	—
273	C₄	—	4	2	no	—
274	C₄	#408	1	4	yes	—
275	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
276	C₄	#546	1	1	yes	characteristic
277	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
278	C₄	#547	1	1	yes	characteristic
279	C₂	—	4	4	no	—
280	C₂	—	4	2	no	—
281	C₂	#2339	1	1	yes	characteristic
282	C₂	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#2880	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#2966	1	1	yes	characteristic
285	C₂	#2969	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#2993	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#2994	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#121	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
4. #1984	C₂	semidirect
5. #1984	C₂	semidirect
6. #1870	C₂	semidirect
7. #1869	C₂	semidirect
8. #1818	C₂	semidirect
9. #1797	C₂	semidirect
10. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
11. #1729	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂×#436	2
C₂×C₈×D₄	2
#1984	2
#1870	2
#1869	2
#1818	2
#1797	2
C₄×C₂²⋊C₈	2
#1729	2